Lemme de Nakayama

Un énoncé général est le suivant :

La démonstration de cet énoncé général se ramène à celle du cas particulier N = 0, c'est pourquoi le lemme de Nakayama est souvent énoncé sous cette forme :

Le corollaire suivant^[1] est parfois également énoncé sous le nom de « lemme de Nakayama » :

(En effet, pour tout élément a de R, 1 + a est inversible.)

Soit ${\displaystyle X=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ une famille génératrice de M. Il existe des ${\displaystyle y_{i,j}\in I}$ tels que pour tout i, ${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{i,j}x_{j}}$. En notant Y la matrice des ${\displaystyle y_{i,j}}$ et d le déterminant de ${\displaystyle I_{n}-Y}$, on en déduit que dM=(0) (car tous les ${\displaystyle dx_{j}}$ sont nuls, d'après la formule de Laplace). Or (en développant le déterminant) d appartient à 1 + I. (On peut aussi invoquer le théorème de Cayley-Hamilton pour l'endomorphisme identité de M, de matrice Y dans X.)

Le ${\displaystyle A}$-module ${\displaystyle N'=M/N}$ est de type fini et vérifie ${\displaystyle N'\subset IN'}$, il suffit alors d'appliquer le résultat précédent : il existe un élément ${\displaystyle a\in I}$ tel que ${\displaystyle (1+a)N'=(1+a)M/N=0}$ ce qui revient à ${\displaystyle (1+a)M\subset N}$.

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