Lemme de Weyl (équation de Laplace)

Soit ${\displaystyle \Omega }$ un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, l'espace euclidien de dimension n. On note Δ le Laplacien usuel.

Le lemme de Weyl ^[1] affirme que si une fonction localement intégrable ${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )}$ est une solution faible de l'équation de Laplace, au sens où, si pour toute fonction ${\displaystyle \varphi }$ de classe ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ à support compact on a :

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\,\Delta \varphi (x)\,dx=0}$

alors, quitte à changer sa définition seulement sur un sous-ensemble négligeable de ${\displaystyle \Omega }$, la fonction ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$ est infiniment dérivable et vérifie ${\displaystyle \Delta u=0}$ en chaque point de ${\displaystyle \Omega }$.

Par corollaire, toutes les fonctions harmoniques sur ${\displaystyle \Omega }$ sont régulières ; mais ce lemme ne permet d'affirmer aucun résultat de régularité sur la frontière du domaine ${\displaystyle \partial \Omega }$.

Pour démontrer le lemme de Weyl, on convolue la fonction ${\displaystyle u}$ avec une suite régularisante ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$ et on démontre que sa convolution ${\displaystyle u_{\varepsilon }=\varphi _{\varepsilon }\ast u}$ satisfait l'équation de Laplace, ce qui implique que ${\displaystyle u_{\varepsilon }}$ vérifie la propriété de la moyenne des fonctions harmoniques.

En prenant la limite quand ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ et en utilisant les propriétés des régularisations, on montre que ${\displaystyle u}$ a également la propriété de moyenne, ce qui implique qu'il s'agit d'une solution régulière de l'équation de Laplace^[2]. D'autres démonstrations utilisent la régularité de la solution fondamentale du Laplacien ou des estimations elliptiques a priori.