Lemme des noyaux

En algèbre linéaire, le lemme des noyaux, aussi appelé théorème de décomposition des noyaux, est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u et les projecteurs associés sont eux-mêmes des polynômes en u.

La démonstration traduit l'identité de Bézout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé à racines simples.

Ce lemme est également important en théorie des anneaux puisqu'il se généralise aussi avec des modules et qu'il est analogue au théorème des restes chinois.

Énoncé

Théorème — Soient E un espace vectoriel sur un corps commutatif K et $f$ un endomorphisme de E. Si $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ sont premiers entre eux deux à deux et $P=P_{1}\cdot \cdot \cdot P_{n}$ , alors les sous-espaces vectoriels $V_{i}=\ker(P_{i}(f))$ (où 1 ≤ i ≤ n) sont en somme directe et

\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}=\ker P(f).

De plus, la projection de la somme directe $V$ sur $V_{i}$ parallèlement à $\bigoplus _{j\neq i}V_{j}$ est la restriction à $V$ d'un polynôme en $f$ .

Démonstration

La démonstration se fait par récurrence à partir de $n=2$ . Pour l'initialisation, puisque $P_{1}$ et $P_{2}$ sont premiers entre eux le théorème de Bezout assure l'existence de deux polynômes $A,B\in K[X]$ tels que $AP_{1}+BP_{2}=1$ et alors $A(f)P_{1}(f)+B(f)P_{2}(f)=Id$ . Soit $x\in \ker P_{1}(f)\cap \ker P_{2}(f)$ alors $x=A(f)\circ P_{1}(f)(x)+B(f)\circ P_{2}(x)=0$ . D'où $\ker P_{1}(f)\cap \ker P_{2}(f)=\{0\}$ .

Soit maintenant $x\in \ker P(f)$ , on rappelle que $K[X]$ est un anneau commutatif et on a

$P_{2}(AP_{1}(f)(x))=AP_{1}P_{2}(f)(x)=AP(f)(x)=0$ donc $AP_{1}(f)(x)\in \ker P_{2}(f)$ et de même $BP_{2}(f)(x)\in \ker P_{1}(f)$ . Puisque $AP_{1}(f)(x)+BP_{2}(f)(x)=x$ , $\ker P(f)=\ker P_{1}(f)+\ker P_{2}(f)$ . Puisque l'intersection des noyaux est le singleton $\{0\}$ la somme est directe ce qui conclut l'initialisation.

Pour la récurrence, on suppose le résultat vrai au rang $n$ . On décompose $P=Q_{1}Q_{2}$ avec $Q_{1}=P_{1}\cdot \cdot \cdot P_{n}$ et $Q_{2}=P_{n+1}$ . Ces polynômes sont premiers entre eux et l'initialisation nous donne

$\ker P(f)=\ker Q_{1}(f)\oplus \ker Q_{2}(f)$

et l'hypothèse de récurrence permet de conclure le théorème

$\ker P(f)=[\ker P_{1}(f)\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus \ker P_{n}(f)]\oplus \ker P_{n+1}(f)=\ker P_{1}(f)\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus \ker P_{n+1}(f)$

^[1]

Applications

Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

Réduction à une forme diagonale par blocs — Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K, $f$ un endomorphisme de E et $P\in K[X]$ un polynôme annulateur de $f$ (par exemple son polynôme minimal, ou son polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et $\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{m_{i}}$ la factorisation de P avec les polynômes P_i irréductibles et distincts. Alors il existe une base B de E et des matrices $A_{i}\in \mathbf {M} _{n_{i}}(K)$ telles que

\mathrm {Mat} _{B}(f)={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\dots &0\\0&A_{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &A_{n}\end{pmatrix}};

où $n_{i}=\dim \ker P_{i}^{m_{i}}(f)$ (en fait la partie de B correspondant au bloc $A_{i}$ est une base de $\ker P_{i}^{m_{i}}(f)$ ), et $P_{i}^{m_{i}}(A_{i})=0$ .

Démonstration

Par hypothèse $\ker P(f)=E$ , donc, d'après le lemme des noyaux :

E=\bigoplus _{i=1}^{n}\ker P_{i}^{m_{i}}(f).

Chaque sous-espace $\ker P_{i}^{m_{i}}(f)$ est stable par $f$ , donc la matrice de $f$ dans n'importe quelle base de E adaptée à la décomposition précédente en sous-espaces stables, est diagonale par blocs comme souhaité.

Ce lemme est un résultat crucial de l'algèbre linéaire. Il permet de montrer les résultats les plus importants concernant la réduction d'endomorphismes, comme les critères de diagonalisabilité. Du résultat évoqué plus haut se déduit également le théorème de Décomposition de Jordan - Dunford.

Énoncé

Applications

Note

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