Logit

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Utilisée avec le logarithme népérien, la fonction logit est la réciproque de la sigmoïde :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-x}}}}$.

Elle est donc utilisée pour linéariser les fonctions logistiques.

La fonction logit étant définie sur ]0,1[, on s'intéresse aux deux points extrêmes et au point central.

• ${\displaystyle \lim _{p\to 1}\operatorname {logit} (p)=+\infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {logit} \left({\frac {1}{2}}\right)=0\!\,}$
• ${\displaystyle \lim _{p\to 0}\operatorname {logit} (p)=-\infty }$

La fonction logit est dérivable pour tout ${\textstyle x\in ]0,1[}$. Avec le logarithme népérien, sa valeur est $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {logit} (x)={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{1-x}}}$$

Étant donné que, pour tout ${\textstyle x\in ]0,1[}$, ${\displaystyle 1/x>0}$ et ${\displaystyle 1/(1-x)>0}$, la fonction logit est strictement croissante.

En utilisant les propriétés du logarithme népérien et la forme de ses primitives, on montre que sa primitive qui s'annule en 0 s'écrit :

$${\displaystyle \int _{0}^{x}\operatorname {logit} (t)\mathrm {d} t=x\operatorname {logit} (x)+\ln(1-x)}$$