Loi de Darcy-Forchheimer

Lorsque le débit est important les effets inertiels peuvent être pris en compte par l'intermédiaire d'une correction faisant intervenir le nombre de Reynolds basé sur la longueur caractéristique ${\displaystyle {\sqrt {K}}}$

${\displaystyle Re_{k}={\frac {\rho \,||\mathbf {V} ||{\sqrt {K}}}{\mu }}}$

avec

• ${\displaystyle \rho }$ masse volumique du fluide,
• ${\displaystyle \mathbf {V} }$ vitesse moyenne dans le milieu poreux, définie par ${\displaystyle \mathbf {q} =\rho \mathbf {V} }$ où ${\displaystyle \mathbf {q} }$ est le flux massique,
• ${\displaystyle K}$ perméabilité, supposée scalaire,
• ${\displaystyle \mu }$ viscosité dynamique.

Cette correction s'exprime dans la loi de Darcy-Forchheimer de la façon suivante^[2]

${\displaystyle K(\nabla p-\rho \mathbf {g} \,)=-\mu \mathbf {V} \,(1+\alpha Re_{k})}$

où

• ${\displaystyle \nabla p}$ est le gradient de pression,
• ${\displaystyle \mathbf {g} }$ est le champ d'accélération,
• ${\displaystyle \alpha }$ est le nombre d'Ergün (ou nombre de Ward). Il est de l'ordre de 0.5.

Il est possible d'obtenir pour un gaz simultanément ${\displaystyle K}$ et ${\displaystyle \alpha }$ à partir d'une série d'expériences en laboratoire en situation unidimensionnelle où ${\displaystyle \mathbf {g} }$ est négligé^[3].

L'équation de Darcy-Forchheimer s'écrit :

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mu }{K}}{\frac {q}{\rho }}+{\frac {\alpha }{\sqrt {K}}}{\frac {q^{2}}{\rho }}}$

On utilise l'équation d'état du gaz supposé parfait sous la forme :

${\displaystyle p={\frac {\rho RT}{M}}}$

où

• ${\displaystyle T}$ est la température,
• ${\displaystyle M}$ la masse molaire,
• ${\displaystyle R}$ la constante universelle des gaz.

En multipliant la relation ci-dessus par ${\displaystyle p}$ à gauche et sa valeur à droite il vient :

${\displaystyle -p{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {RT}{M}}q\left({\frac {\mu }{K}}+{\frac {\alpha }{\sqrt {K}}}{q}\right)}$

ce qui donne une estimation

${\displaystyle -{\frac {M}{2RTq\mu }}{\frac {\Delta (p^{2})}{\Delta x}}={\frac {1}{K}}+{\frac {\alpha }{\sqrt {K}}}{\frac {q}{\mu }}}$

En faisant varier la pression et en mesurant le débit dans une expérience, on obtient une série de points d'où l'on extrait l'ordonnée à l'origine ${\displaystyle {\frac {1}{K}}}$ et la pente ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\sqrt {K}}}}$ (voir courbe).

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