Loi de Morrie

Première généralisation

La loi de Morrie est le cas particulier, où ${\displaystyle n=3}$ et ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{9}}=20^{\circ }}$, de l'identité plus générale^[6] :

${\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}$

avec ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ et ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$^[10].

La curiosité tient au fait que si on choisit ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2^{n}\pm 1}}}$, le membre de droite vaut ±1 (on le montre en remplaçant le dénominateur ${\displaystyle \sin(\alpha )}$ par ${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )}$ ou ${\displaystyle -\sin(\pi +\alpha )}$), et l'égalité devient alors^[11] :

${\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos \left({\frac {2^{k}}{2^{n}\pm 1}}\pi \right)=\pm 1}$.

On en tire les identités suivantes :

Davantage d’informations , ...

	${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2^{n}-1}}}$	${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2^{n}+1}}}$
${\displaystyle n=2}$		${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)\cdot \cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right)={\frac {1}{4}}}$[12]
${\displaystyle n=3}$	Article connexe : Formules trigonométriques en kπ/7. ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\cdot \cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\cdot \cos \left({\frac {4\pi }{7}}\right)=-{\frac {1}{8}}}$ ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{7}}\right)\cdot \cos \left({\frac {2\pi }{7}}\right)\cdot \cos \left({\frac {3\pi }{7}}\right)={\frac {1}{8}}}$[13]	Article connexe : Formules trigonométriques en kπ/9. ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{9}}\right)\cdot \cos \left({\frac {2\pi }{9}}\right)\cdot \cos \left({\frac {4\pi }{9}}\right)={\frac {1}{8}}}$ (loi de Morrie)
${\displaystyle n=4}$	${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{15}}\right)\cdot \cos \left({\frac {2\pi }{15}}\right)\cdot \cos \left({\frac {4\pi }{15}}\right)\cdot \cos \left({\frac {8\pi }{15}}\right)=-{\frac {1}{16}}}$[14]	${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{17}}\right)\cdot \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)\cdot \cos \left({\frac {4\pi }{17}}\right)\cdot \cos \left({\frac {8\pi }{17}}\right)={\frac {1}{16}}}$[12]

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Deuxième généralisation

La première généralisation est elle-même le cas particulier, où ${\displaystyle b=2}$, de l'identité plus générale^[11] :

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left(\sum _{j=0}^{b-1}\cos {\Big (}(b-2j-1)b^{k}\alpha {\Big )}\right)={\frac {\sin(b^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}$

avec ${\displaystyle b\in \mathbb {N} ^{*}}$.

En effet, en choisissant ${\displaystyle b=2}$ le membre de gauche devient ${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\Big (}\cos(2^{k}\alpha )+\cos(-2^{k}\alpha ){\Big )}=\prod _{k=0}^{n-1}{\Big (}2\cos(2^{k}\alpha ){\Big )}=2^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )}$, ce qui permet de retrouver la première généralisation.

Autres généralisations

Il existe diverses autres généralisations de la loi de Morrie, citées notamment dans un livre d'exercices de trigonométrie de 1930^[15],[16], telles que :

${\displaystyle \prod _{r=1}^{m}\cos \left({\frac {r\pi }{2m+1}}\right)=2^{-m}}$

dont la loi de Morrie est le cas particulier où ${\displaystyle m=4}$.

Preuve algébrique

La preuve de la loi de Morrie s'appuie sur la formule de l'angle double pour la fonction sinus :

${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha }$

qui permet de trouver l'expression de ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ et, par suite, de ${\displaystyle \cos(2\alpha )}$, ${\displaystyle \cos(4\alpha )}$ ... ${\displaystyle \cos(2^{n-1}\alpha )}$^[6],[15] :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \alpha &={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin \alpha }}\\\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}$

En multipliant toutes ces expressions les unes avec les autres, on obtient :

${\displaystyle \cos \alpha \cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{n-1}\alpha )={\frac {\cancel {\sin(2\alpha )}}{2\sin \alpha }}\cdot {\frac {\cancel {\sin(4\alpha )}}{2\ {\cancel {\sin(2\alpha )}}}}\cdot {\frac {\cancel {\sin(8\alpha )}}{2\ {\cancel {\sin(4\alpha )}}}}\cdots {\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\ {\cancel {\sin(2^{n-1}\alpha )}}}}}$.

Dans la partie droite de l'expression, les numérateurs et dénominateurs intermédiaires s'éliminent deux à deux, ne laissant que le premier dénominateur ${\displaystyle \sin \alpha }$ et le numérateur final ${\displaystyle \sin(2^{n}\alpha )}$ (on dit qu'il s'agit d'un produit télescopique^[12]), ainsi qu'une puissance de 2 au dénominateur (${\displaystyle 2^{n}}$ car il y a ${\displaystyle n}$ facteurs) ; il vient alors :

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{n}\sin \alpha }}}$,

ce qui est équivalent à la première généralisation de l'identité.

Preuves géométriques

Pour démontrer les identités de la forme ${\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )=\pm 1}$ avec ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2^{n}\pm 1}}}$, une preuve géométrique utilisant un polygone régulier à ${\displaystyle 2^{n}\pm 1}$ côtés peut être utilisée.

Ainsi, pour démontrer la loi de Morrie (${\displaystyle n=3}$ et ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{9}}}$), une telle preuve utilisant un ennéagone régulier (9 côtés) a été publiée en 2008^[17], puis une autre en 2015^[18].

Cette dernière s'appuie sur l'ennéagone ${\displaystyle ABCDEFGHI}$ ci-contre, de côté 1. Soient ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle J}$, ${\displaystyle K}$ et ${\displaystyle L}$ les milieux de ${\displaystyle [AB]}$, ${\displaystyle [BD]}$, ${\displaystyle [DF]}$ et ${\displaystyle [BF]}$, respectivement.

On montre que ${\displaystyle \alpha ={\widehat {CBD}}={\frac {\pi }{9}}}$, ${\displaystyle \beta ={\widehat {DBF}}={\frac {2\pi }{9}}}$, et ${\displaystyle \gamma ={\widehat {FBM}}={\frac {4\pi }{9}}}$.

${\displaystyle KEF}$ est rectangle en ${\displaystyle K}$, donc ${\textstyle \cos \alpha ={\frac {KF}{EF}}}$. Or ${\displaystyle DF=2\cdot KF}$ car ${\displaystyle K}$ est milieu de ${\displaystyle [DF]}$, donc :

${\displaystyle DF=2\cdot EF\cdot \cos \left({\frac {\pi }{9}}\right)}$.

${\displaystyle DFL}$ est rectangle en ${\displaystyle L}$, donc ${\textstyle \cos \beta ={\frac {LF}{DF}}}$. Or ${\displaystyle BF=2\cdot LF}$ car ${\displaystyle L}$ est milieu de ${\displaystyle [BF]}$, donc :

${\displaystyle BF=2\cdot DF\cdot \cos \left({\frac {2\pi }{9}}\right)}$.

${\displaystyle BFM}$ est rectangle en ${\displaystyle M}$, donc ${\textstyle \cos \gamma ={\frac {BM}{BF}}}$. Or ${\displaystyle AB=2\cdot BM}$ car ${\displaystyle M}$ est milieu de ${\displaystyle [AB]}$, donc :

${\displaystyle AB=2\cdot BF\cdot \cos \left({\frac {4\pi }{9}}\right)}$.

Or ${\displaystyle AB=EF=1}$ car ce sont des côtés de l'ennéagone, et en remplaçant ${\displaystyle |BF|}$ et ${\displaystyle |DF|}$ par les expressions ci-dessus, on obtient :

${\displaystyle 1=2\cdot 2\cdot 2\cdot \cos \left({\frac {\pi }{9}}\right)\cdot \cos \left({\frac {2\pi }{9}}\right)\cdot \cos \left({\frac {4\pi }{9}}\right)}$, d'où la loi de Morrie.

Les auteurs de cette preuve ont par la suite publié, en 2016, une preuve géométrique de l'identité où ${\displaystyle n=3}$ et ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{7}}}$, en utilisant un heptagone régulier (7 côtés)^[19].

De même, l'identité où ${\displaystyle n=2}$ et ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{5}}}$ peut être prouvée en utilisant un pentagone régulier (5 côtés)^[20].