Luminance énergétique

Phénomène mesuré

La luminance énergétique indique la manière dont un système optique perçoit, sous n'importe quel angle de vue, la lumière émise par une surface donnée (en réflexion, transmission ou diffusion). Dans cette configuration, l'angle solide pertinent est celui sous lequel est vu depuis la surface émettrice la pupille d'entrée du système optique. Concernant l’œil humain les fonctions d'efficacité lumineuse spectrale normalisée par la Commission internationale de l'éclairage sont à considerer;

Propriétés

Dans un système optique idéal (sans diffusion ni absorption), la luminance énergétique divisée par le carré de l'indice de réfraction est une grandeur physique invariante : c'est le produit de l'étendue géométrique d'un faisceau lumineux par le flux énergétique qui y est injecté. Cela signifie que pour un tel système optique, la luminance énergétique en sortie est la même que celle en entrée ; ce qui est parfois décrit par l'expression « conservation de la radiance »^{[réf. souhaitée]}. De ce fait, si par exemple on agrandit une image au moyen d'un système de zoom, la luminance énergétique de la scène sera diluée sur une surface plus grande et la luminance d'un point de l'image ainsi formée sera divisée en proportion. Pour un système optique réel, en revanche, la luminance énergétique ne peut que décroître à cause de la diffusion et des imperfections du système.

Vocabulaire et notations : norme et usage

Dans les ouvrages en français le terme luminance est généralement respecté dans le domaine de l'ingénierie mais le mot intensité est encore très utilisé dans le domaine de la physique^{[Interprétation personnelle ?]}. L'adjectif énergétique est omis dans tous les cas : quand on^[Qui ?] traite d'un sujet radiométrique il n'est pas utile de rappeler que l'on ne se situe pas dans le domaine photométrique^[pas clair].

On trouve parfois la luminance énergétique écrite sous forme de vecteur^[5],[6] aligné suivant la direction d'émission ${\displaystyle \Omega }$. Cette quantité est en fait ${\displaystyle \Omega L_{e}}$^[pas clair].

Luminance énergétique spectrale

La luminance énergétique correspond à la densité angulaire de flux énergétique pour l'ensemble du spectre électromagnétique. On peut de la même façon définir une luminance énergétique spectrale (ou spectrique), qui est la distribution de la luminance énergétique par rapport au spectre électromagnétique.

La valeur de la luminance énergétique spectrale se calcule en restreignant la luminance énergétique à un intervalle élémentaire dp, où p est une variable quelconque caractérisant la position spectrale : longueur d'onde λ, nombre d'onde λ^-1, fréquence ν = cλ^-1, énergie hν, énergie réduite hν / (m_ec²), etc. Le choix de p est arbitraire : la quantité L_e(p) dp est indépendante du choix effectué puisqu'elle traduit l'énergie dans cet intervalle spectral. Par contre la valeur numérique de L_e et son unité en dépend.

Luminance énergétique et intensité énergétique

La luminance énergétique est reliée à l'intensité énergétique par la relation

${\displaystyle \mathrm {d} I_{e}=L_{e}\,\mathrm {d} S\cos \theta }$

Où θ est l'angle entre la normale de la surface élémentaire émettrice d'aire élémentaire dS et la direction considérée^[7], et dI_e l'intensité énergétique élémentaire de cette surface.

Si la luminance énergétique est isotrope, l'intensité énergétique élémentaire varie comme cos θ : elle est orthotrope de révolution (en abrégé, « de révolution »). C'est la « loi cosinus de Lambert ».

La puissance élémentaire dP émise est donc :

${\displaystyle \mathrm {d} P=L_{e}\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega \,\mathrm {d} S}$

Si on utilise les coordonnées sphériques avec l'axe z normal à l'élément de surface, ${\displaystyle \theta }$ est l'angle de colatitude (ou zénithal). On nomme ${\displaystyle \phi }$ l'angle azimutal (ou longitude). Alors

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }$

Luminance énergétique et exitance énergétique

L'exitance énergétique représente le flux d'énergie par unité de surface émis par une surface élémentaire dans toutes les directions :

${\displaystyle M_{e}=\int _{2\pi }L_{e}\,\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }L_{e}(\theta ,\phi )\sin \theta \cos \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }$

Si la luminance énergétique est isotrope l'exitance énergétique s'écrit :

${\displaystyle M_{e}=2\pi L_{e}\int _{0}^{\pi }\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta =2\pi L_{e}\int _{-1}^{1}\mu \,\mathrm {d} \mu =0}$

avec μ = cos θ. L'énergie étant également redistribuée dans tout l'espace, il n'y a pas de transport de celle-ci : le flux est nul.

Notons que cette intégrale est réduite à un demi-espace^{[note 1]} lorsqu'on a affaire à une surface physique opaque^{[6],[8],[9],[10]} ou que l'on s'intéresse à une condition aux limites (flux entrant ou sortant d'un volume d'espace élémentaire). Alors, dans le cas d'une distribution isotrope on obtient la loi de Lambert

${\displaystyle M_{e}=2\pi L_{e}\int _{0}^{1}\mu \mathrm {d} \mu =\pi L_{e}}$

Remarque

On trouve dans divers ouvrages^[9],[8] les expressions suivantes

${\displaystyle \mathrm {d} M_{e}=L_{e}\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega \quad \Rightarrow \quad L_{e}={\frac {1}{\cos \theta }}{\frac {\mathrm {d} M_{e}}{\mathrm {d} \Omega }}}$

La première expression est incorrecte : ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega }$ et ${\displaystyle \mathrm {d} M_{e}}$ sont des scalaires alors que ${\displaystyle L_{e}}$ est une distribution.

La seconde expression suggère que la dérivée de ${\displaystyle M_{e}}$ par rapport à ${\displaystyle \Omega }$ permet de remonter à la luminance énergétique. Une telle opération est impossible, l'exitance étant indépendante de ${\displaystyle \Omega }$.

Transfert radiatif

La luminance énergétique (spectrale ou non) est la variable de base pour les problèmes de transfert radiatif dans un milieu quelconque : elle est régie par une équation cinétique nommée équation de Boltzmann par analogie avec la théorie cinétique des gaz. La résolution de cette équation est rendue difficile par la dimensionnalité du problème : la luminance énergétique est en général fonction de sept variables (trois d'espace, une de temps, deux d'angle, une spectrale).

Une luminance énergétique joue un rôle particulier en physique, c'est celle du corps noir. Elle est isotrope et sa répartition spectrale est donnée par la loi de Planck.

Optique géométrique

Le transfert radiatif s'adresse essentiellement aux milieux absorbants, diffusifs ou émissifs qualifiés de « participatifs ». Dans les cas où la propagation se fait sans ces phénomènes de volume^[Quoi ?] on est dans le domaine de l'optique géométrique où il est possible de décrire certains phénomènes stationnaires de propagation de manière analytique, le problème n'étant plus dépendant que des variables d'espace.

Lorsque le milieu est homogène on sait résoudre les problèmes géométriques liés à la propagation, ce qui conduit aux notions d'étendue de faisceau ou de facteur de forme. Le problème est plus compliqué en milieu non homogène où il faut résoudre l'équation eikonale pour connaître la trajectoire d'un rayon.

Surfaces

Les problèmes à résoudre sont le plus souvent limités par des surfaces opaques qu'il faut caractériser. Cela concerne l'émission et l'absorption, la réflexion, simple ou définie par une réflectivité bidirectionnelle.

Dans le cas de l'interface entre deux milieux d'indices différents il faut généraliser la loi de Fresnel à la luminance^[11].