Masse électromagnétique

Démonstration

Pour illustrer cela, nous pouvons considérer un système constitué de deux charges électriques ponctuelles q1 et q2 séparées par une distance r.

Lorsque ce système est au repos, les forces électriques mutuelles entre les deux charges sont égales et opposées (loi de Coulomb), ce qui implique que la résultante de ces forces est nulle.

Si, à présent, on impose à l'ensemble du système une accélération ${\displaystyle {\vec {a}}}$ dirigée vers la droite (en maintenant la distance r entre les deux charges constante), il n'en est plus de même^[2] : en effet, le champ électrique produit par chaque charge ne se propageant pas instantanément, mais à la vitesse de la lumière (c = 299 792 458 m/s), la force subie par chaque charge ne dépend plus de la position actuelle de l'autre charge, mais de sa position retardée (t' = t - r/c). Ce faisant, la force exercée par q2 sur q1 devient légèrement plus forte que la force exercée par q1 sur q2. Ce déséquilibre conduit à l'apparition d'une force totale Fauto s'exerçant sur l'ensemble du système. Cette force est ici dirigée vers la gauche et tend donc à s'opposer à l'accélération.

Pour calculer Fauto, il nous faut calculer la force électrique exercée par chaque charge sur l'autre, en prenant en compte les effets de retard dans la propagation du champ électrique. Nous pouvons pour ce faire utiliser la relation F = q E et calculer le champ électrique E créé par chaque charge en utilisant le modèle de Darwin, qui permet d'approximer l'expression des champs jusqu'à l'ordre 1/c² en régime quasi-stationnaire^[3]. L'expression générale du champ E est :

dans laquelle toutes les grandeurs exprimées sont instantanées (c'est-à-dire considérées à l'instant présent t). Le premier terme de cette équation représente le champ coulombien, et le second est un terme correctif, causé par l'accélération des charges, qui prend précisément en compte les effets de retard.

Comme mentionné précédemment, le premier terme (bien que beaucoup plus important en amplitude que le second) conduit à des forces égales et opposées. En revanche, le terme lié à l'accélération peut produire des forces qui ne sont pas égales et opposées. En calculant la force totale Fauto s'exerçant sur le système, on trouve^[2] :

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {auto} }={\vec {F}}_{1\to 2}+{\vec {F}}_{2\to 1}=-{\frac {2q_{1}q_{2}\,{\vec {a}}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}}$

La force totale obtenue est proportionnelle à ${\displaystyle {\vec {a}}}$ et augmente la résistance du système à l'accélération. De ce fait, on peut considérer (par définition) que celle-ci augmente la masse du système, la variation de masse Δm étant donnée (en utilisant la deuxième loi de Newton) par^[2] :

En appelant cette variation de masse la "masse électromagnétique d'interaction" des deux charges, on obtient^[2] :

${\displaystyle m_{\mathrm {elec} }={\frac {F_{\mathrm {auto} }}{a}}={\frac {2q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}}$

Notons que si les charges q1 et q2 sont de même signe, la masse électromagnétique obtenue est positive (on parle alors d'excès de masse), tandis que si les charges q1 et q2 sont de signe opposés, la masse électromagnétique est négative (on parle alors de défaut de masse).

En notant respectivement m1 la masse de la charge q1, m2 la masse de la charge q2, et M_tot la masse totale du système {q1+q2}, on a finalement :

${\displaystyle M_{tot}=m_{1}+m_{2}+{\frac {2q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}}$

Conclusion : Les lois de l'électromagnétisme classique montrent que les interactions à distance entre particules chargées peuvent avoir une incidence sur la masse globale d'un système, ce qui implique que l'inertie d'un corps ne dépend pas uniquement de la quantité de matière qu'il contient. L'apparition d'une masse d'interaction est causée par la finitude de la vitesse à laquelle se propagent les champs dans l'espace (c). Ainsi, un condensateur chargé sera par exemple plus massif que le même condensateur non chargé, même si les deux sont constitués du même nombre exact de particules et qu'il n'y a pas eu d'échange de matière avec l'extérieur.

Configuration transverse

En considérant cette fois la situation dans laquelle l'accélération ${\displaystyle {\vec {a}}}$ du système de deux charges ponctuelles est orthogonale à l'axe de la paire de charges (θ = 90°), on trouve, pour la force d'auto-interaction^[2],[4] :

${\displaystyle F_{auto}={\frac {q_{1}q_{2}a}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}}$

ce qui implique :

${\displaystyle m_{\mathrm {elec} }={\frac {F_{\mathrm {auto} }}{a}}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}}$

La masse d'interaction obtenue est deux fois plus faible que dans le cas longitudinal^[2].

Orientation quelconque

Si l'axe de la paire de charges réalise un angle θ quelconque avec le vecteur accélération ${\displaystyle {\vec {a}}}$, la masse électromagnétique d'interaction des deux charges est^[2] :

${\displaystyle m_{\mathrm {elec} }={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}\left(1+\cos ^{2}\theta \right)}$

le facteur (1 + cos² θ) pouvant varier entre 1 et 2.

Apparition d'une force orthogonale à l'accélération

Lorsque θ n'est ni égal à 0° ni égal à 90°, une force d'auto-interaction perpendiculaire à l'accélération (${\displaystyle F_{\perp }}$) fait également son apparition, en plus de celle colinéaire à l'accélération^[2] :

${\displaystyle F_{\perp }={\frac {q_{1}q_{2}a}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}\cos(\theta )\sin(\theta )}$

Cependant, seule ${\displaystyle F_{\parallel }}$ peut être considérée comme contribuant à l'inertie du système. Pour rappel :

${\displaystyle F_{\parallel }={\frac {q_{1}q_{2}a}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}\left(1+\cos ^{2}\theta \right)}$

${\displaystyle F_{\perp }}$ est maximisée lorsque θ = 45°. On peut s'en convaincre en utilisant l'identité trigonométrique :

${\displaystyle \cos(\theta )\sin(\theta )={\frac {1}{2}}\sin(2\theta )}$

sin(2θ) est maximisé pour θ = 45°.

Défaut de masse de l'atome d'hydrogène

Un atome d'hydrogène est constitué de deux particules de charges électriques opposées (un proton et un électron) en interaction.

Les masses respectives d'un proton et d'un électron isolés sont données par :

${\displaystyle m_{p}=1{,}672621924\times 10^{-27}\,\mathrm {kg} }$

${\displaystyle m_{e}=9{,}109383702\times 10^{-31}\,\mathrm {kg} }$

Si on calcule la somme de ces deux masses, on trouve :

${\displaystyle m_{p}+m_{e}=1{,}673532862\times 10^{-27}\,\mathrm {kg} }$

Or, la masse réelle (expérimentale) d'un atome hydrogène est donnée par :

${\displaystyle m_{H}=1{,}673532838\times 10^{-27}\,\mathrm {kg} }$

On trouve :

${\displaystyle m_{H}<m_{p}+m_{e}}$

L'écart entre les deux masses (le défaut de masse) est :

${\displaystyle \Delta m=2{,}4\times 10^{-35}\,\mathrm {kg} }$

Ce défaut de masse est précisément la masse électromagnétique d'interaction (en l'occurrence négative) entre le proton et l'électron. Elle est environ 100 millions de fois plus faible que la masse totale de l'atome d'hydrogène.

Sphère uniformément chargée en volume

Si la sphère porte une densité volumique de charge uniforme ρ dans tout son volume, nous pouvons calculer sa masse électromagnétique en intégrant les forces d'interaction mutuelles entre toutes les paires infinitésimales de charges. La masse électromagnétique d'une telle sphère chargée est donnée par :

${\displaystyle M_{\mathrm {elec} }={\frac {16\pi \,\rho ^{2}R^{5}}{45\varepsilon _{0}}}}$

On peut également exprimer le même résultat en fonction de la charge totale Q portée par la sphère :

${\displaystyle M_{\mathrm {elec} }={\frac {Q^{2}}{5\pi \varepsilon _{0}R}}}$

Sphère uniformément chargée en surface

Considérons cette fois-ci que la sphère est chargée en surface, avec une densité surfacique de charge σ uniforme. On a alors^[2],[5] :

${\displaystyle M_{\mathrm {elec} }={\frac {8\pi \,\sigma ^{2}R^{3}}{3\varepsilon _{0}}}}$

ou,

${\displaystyle M_{\mathrm {elec} }={\frac {Q^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}R}}}$

Le problème 4/3

Si l'on considère une distribution de charge sphérique (que la charge soit distribuée à la surface de la sphère ou dans son volume), on trouve toujours^[6] :

${\displaystyle M_{\mathrm {elec} }={\frac {4}{3}}{\frac {E_{p}}{c^{2}}}}$

Cet écart entre les résultats des deux calculs (E=mc² et la théorie électromagnétique) a donné lieu à de nombreux débats depuis le début du XX^e siècle^[5],[6]. C'est ce qu'on appelle le paradoxe 4/3.

Fission nucléaire

Dans le processus de fission nucléaire, un noyau atomique lourd est scindé en nucléides plus légers. La force électrostatique s'exerçant entre ces fragments de noyau (chargés positivement) provoque une répulsion très intense qui dégage une grande quantité d'énergie. On a alors conversion d'énergie potentielle électrostatique en énergie cinétique et en rayonnement (dans le cas de la fusion nucléaire, c'est de l'énergie potentielle associée à l'interaction forte qui est libérée).

La masse de l'ensemble des produits de la réaction nucléaire est alors plus faible que la masse totale initiale. Cet écart correspond à la diminution de la masse électromagnétique du système due à l'éloignement des particules chargées (les protons) qui étaient à l'origine regroupées dans un même noyau. Le même phénomène de déperdition de masse électromagnétique se produit lorsque de l'énergie est libérée par des réactions chimiques, mais dans des proportions beaucoup moins importantes.