Équations de Panofsky-Phillips

Propagation et retard

Si on observe les différentes sources du champ électromagnétique apparaissant dans les équations de Panofsky-Phillips (ρ, ${\displaystyle \mathbf {J} }$ et ${\displaystyle {\dot {\mathbf {J} }}}$), on s'aperçoit que ces dernières sont systématiquement écrites entre crochets [ ], ce qui implique qu'il faut toujours considérer leur état à l'instant passé (dit instant retardé) t' = (t - r/c), et non à l'instant présent t.

Cela traduit le fait que les champs électrique et magnétique se propagent à la vitesse finie c, soit à 299 792 458 m/s. Il existe donc toujours un certain délai entre une variation au niveau des sources et les effets que celles-ci peuvent engendrer en un autre point de l’espace. Ce délai est égal au temps de propagation des champs entre la source et le récepteur, r/c.

Interprétation physique de chaque terme

Trois termes apparaissent dans la formule du champ électrique E :

• le premier terme est lié à la position retardée des charges électriques sources (on reconnaît la loi de Coulomb exprimée à l'instant retardé t') ;
• le deuxième terme est lié à la vitesse retardée des charges sources. Il apporte une correction au champ coulombien retardé (premier terme) en compensant les effets de retard lorsque les courants sont constants au cours du temps (${\displaystyle {\dot {\mathbf {J} }}}$ = 0). L'une des propriétés notables de ce terme^[2] est de s'annuler lorsqu'on a à la fois div(J) = 0 et ${\displaystyle {\dot {\mathbf {J} }}}$ = 0 (c'est-à-dire en régime stationnaire) ;
• le troisième terme est provoqué par l'accélération (au temps retardé) des charges sources (on pourra parler de « champ d'accélération »).

De même, pour le champ magnétique B, on reconnaît un premier terme lié à la vitesse des charges sources (loi de Biot et Savart retardée), et un second terme provoqué par leur accélération.

Distinction entre champ proche et champ rayonné

Nous pouvons dissocier les différents termes de ces champs en deux catégories : les uns possèdent une décroissance en 1/r², inversement proportionnelle au carré de la distance (nous pouvons par conséquent qualifier ces termes de « champs proches », car ils ne sont significatifs qu’à proximité immédiate des sources), tandis que les autres possèdent une décroissance en 1/r (il s’agit des champs d'accélération, dits aussi champs « rayonnés », qui deviennent de plus en plus prédominants au fur et à mesure que l'on s'éloigne des sources, de par leur décroissance plus lente avec la distance).

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\color {green}{\frac {[\rho ]\mathbf {n} }{r^{2}}}+{\frac {\left(\left[\mathbf {J} \right]\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n} +\left(\left[\mathbf {J} \right]\wedge \mathbf {n} \right)\wedge \mathbf {n} }{c\,r^{2}}}}\mathbin {\color {red}{+}} {\color {red}{\frac {\left(\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\wedge \mathbf {n} \right)\wedge \mathbf {n} }{c^{2}r}}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\color {green}{\frac {\left[\mathbf {J} \right]\wedge \mathbf {n} }{c^{2}r^{2}}}}\mathbin {\color {red}{+}} {\color {red}{\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\wedge \mathbf {n} }{c^{3}r}}}\right)\,dV'}$

• En vert, nous avons les champs proches (décroissance en 1/r²).
• En rouge, nous avons les champs rayonnés (décroissance en 1/r).

Notons que les champs liés à la position et à la vitesse des charges sources possèdent une décroissance en 1/r², et que ceux liés à l'accélération des charges sources possèdent une décroissance en 1/r.

• Dans la zone de champ lointain (c'est-à-dire lorsque r >> λ), on peut considérer les termes en 1/r² comme négligeables devant les termes en 1/r, ce qui permet des simplifications dans le calcul du champ électromagnétique (voir champ proche et champ lointain). Dans ce cas, l'expression des champs émis peut se réduire à :

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left(\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\wedge \mathbf {n} \right)\wedge \mathbf {n} }{r}}\right)\,dV'}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[{\dot {\mathbf {J} }}\right]\wedge \mathbf {n} }{r}}\right)\,dV'}$

où seuls les champs rayonnés sont conservés.

• Dans la zone de champ proche (r << λ), les champs peuvent être calculés en utilisant l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS). C'est dans cette zone qu'apparaissent les phénomènes tels que l'induction électromagnétique et la force d'Abraham-Lorentz.

Propriétés des champs rayonnés

• Les termes « rayonnés », qui constituent ce qu'on appelle le rayonnement électromagnétique, sont toujours générés par des variations temporelles de courant, c’est-à-dire par des charges accélérées. Une charge électrique qui n’accélère pas ne produira donc aucun champ E ou B possédant une décroissance en 1/r.

• De plus, l’émission est directionnelle (ou anisotrope) : l’amplitude des champs émis dépend de la direction d'observation (elle est nulle sur l’axe d’accélération, et maximale dans le plan orthogonal à l’accélération). Nous pouvons notamment illuster cette propriété en observant les champs émis par un dipôle oscillant :

(Un tel dipôle oscillant est incapable d'émettre ou de détecter un rayonnement le long de son axe, tandis que l'efficacité de cette opération est maximisée dans le plan équatorial).

• On notera également que ces termes sont orthogonaux à n, ce qui implique qu’ils sont toujours transverses par rapport à la direction de propagation des champs électromagnétiques rayonnés, comme on peut le voir ci-dessous :

• Les équations de Panofsky-Phillips montrent par ailleurs que le champ magnétique rayonné est lié au champ électrique rayonné par la relation :

$${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{ray}}={\frac {\mathbf {n} \wedge \mathbf {E} _{\text{ray}}}{c}}}$$

Par conséquent, en zone de champ lointain (r >> λ), le champ magnétique est lié au champ électrique par :

$${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {n} \wedge \mathbf {E} }{c}}}$$

On a alors ${\displaystyle \mathbf {E} \perp \mathbf {B} \perp \mathbf {n} }$ .

Ces propriétés permettent par exemple d'expliquer l'origine de la pression de rayonnement.

La fréquence d'oscillation de la source déterminera à quel domaine du spectre électromagnétique appartient le rayonnement émis :

Expression des champs proches et des champs rayonnés à partir des potentiels

On peut décomposer le potentiel vecteur A en une composante radiale A_n (portée par le vecteur n) et en une composante transverse A_{${\displaystyle \perp }$} (orthogonale au vecteur n) :

${\displaystyle \mathbf {A} _{n}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} )\,\mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\perp }=-\left(\mathbf {A} \wedge \mathbf {n} \right)\wedge \mathbf {n} }$

• Si on note respectivement E_proche et B_proche la partie des champs électrique et magnétique qui possède une décroissance en 1/r² dans les équations de Panofsky-Phillips, ces derniers sont liés aux potentiels retardés par les relations :

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{proche}}=-{\boldsymbol {\operatorname {grad} }}\!\left(V\right)-{\frac {\partial \mathbf {A} _{n}}{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{proche}}={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} _{n}\right)}$

• Si on note respectivement E_ray et B_ray la partie des champs électrique et magnétique qui possède une décroissance en 1/r dans les équations de Panofsky-Phillips, ces derniers sont liés aux potentiels retardés par les relations :

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{ray}}=-{\frac {\partial \mathbf {A} _{\perp }}{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{ray}}={\boldsymbol {\operatorname {rot} }}\!\left(\mathbf {A} _{\perp }\right)}$

La composante radiale de A est donc liée au champ proche, tandis que la composante transverse de A est liée au champ rayonné.