Nombre de Liouville

Pour illustrer son théorème, Liouville donne un procédé général de construction de tels nombres à l'aide de la théorie des fractions continues, ainsi que des exemples, mais indique une méthode plus simple : par exemple, pour tout entier ${\displaystyle b>1}$, ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b^{-k!}}$ est un nombre de Liouville. Ce furent les premiers exemples explicites de nombres transcendants.

La constante de Liouville correspond au cas b = 10. Il s'agit donc du réel

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{k!}}}=0,110001000000000000000001000...~.}$

Plus généralement, pour tout entier b > 1 et toute suite (a_k)_k>0 d'entiers compris entre 0 et b – 1 non tous nuls à partir d'un certain rang, le réel

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$

est un nombre de Liouville^[2].

L'ensemble des nombres de Liouville a donc la puissance du continu^[2].

La mesure d'irrationalité d'un réel ${\displaystyle x}$ — ou « sa constante de Liouville-Roth »^[3] — mesure la manière d'approcher ${\displaystyle x}$ par des rationnels.

Cette mesure est toujours supérieure ou égale à 1, comme borne supérieure d'un ensemble qui contient ]–∞, 1[.

Par exemple :

• la mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1^[3],[4] ;
• celle d'un irrationnel est supérieure ou égale à 2^[5] ; plus précisément, si la fraction continue de cet irrationnel est ${\displaystyle [a_{0},a_{1},\dots ]}$ et a pour réduites ${\displaystyle h_{n}/k_{n}}$, sa mesure d'irrationalité est ${\displaystyle 1+\limsup {\frac {\ln k_{n+1}}{\ln k_{n}}}=2+\limsup {\frac {\ln a_{n+1}}{\ln k_{n}}}}$^[6].
• celle d'un irrationnel algébrique est exactement égale à 2 : c'est le théorème de Roth (1955), plus précis que celui de Liouville. La réciproque est fausse comme le montre le fait que le nombre e est transcendant de mesure d’irrationalité 2 (voir infra).
• les nombres de Liouville sont les réels dont la mesure d'irrationalité est infinie. En effet, si x est un nombre de Liouville alors, pour tout réel μ, les (p_n, q_n) de la 1^re définition, pour n ≥ μ, satisfont 1/q_nⁿ ≤ 1/q_n^μ et forment un ensemble infini, puisque la suite des |x – p_n/q_n| est à valeurs non nulles et converge vers 0.

On trouve dans les ouvrages de légères variantes : certains auteurs^[3] prennent (ce qui revient au même) la borne inférieure de l'ensemble des μ pour lesquels il n'existe au contraire qu'un nombre fini de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/q^μ. Certains^{[7],[8],[9],[10]} parlent des mesures d'irrationalité : ce sont tous les nombres supérieurs ou égaux à la mesure d'irrationalité définie ici. Enfin, certains^[11],[7],[8] ne la définissent que si x est un nombre irrationnel, ce qui leur évite de mentionner la minoration stricte de |x – p/q| par 0. Outre ces nuances, on trouve une définition différente^[8],[9],[10] mais équivalente^{[réf. souhaitée]} :

Les nombres de Liouville étant de mesure d'irrationalité infinie, leur transcendance est un corollaire immédiat du théorème suivant, démontré dans l'article détaillé en utilisant la seconde définition ci-dessus de la mesure d'irrationalité.

Certains réels (en fait presque tous) sont transcendants sans être de Liouville. Par exemple^[3], la mesure d'irrationalité de e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1,…] est égale à 2 , et notant ${\displaystyle r(x)}$ la mesure d'irrationalité de ${\displaystyle x}$, on a :

• ${\displaystyle 2\leqslant r(\pi )\leqslant 7,61}$ ^[13] ,
• ${\displaystyle 2\leqslant r(\ln 2)\leqslant 3,90}$^[3],
• ${\displaystyle 2\leqslant r(\pi ^{2})\leqslant 5,45}$^[3],
• ${\displaystyle 2\leqslant r(\zeta (3))\leqslant 5,52}$^[3].

Paul Erdős a démontré^[14] que tout nombre réel non nul peut s'écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville. A posteriori, cela s'explique par une propriété générale des G_δ denses et le fait que l'ensemble L des nombres de Liouville en est un^[15] puisque

${\displaystyle L=\bigcap _{n\in \mathbb {N} ^{*}}U_{n}\quad {\rm {avec}}\quad U_{n}=\bigcup _{p,q\in \mathbb {Z} ,q\geq 2}\left]{\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right[\setminus \left\{{\frac {p}{q}}\right\}{\text{ ouvert dense}}}$

et que ℝ est un espace de Baire.

L'ensemble des nombres de Liouville, en dépit de leur « abondance » du point de vue de la cardinalité et de la topologie, est négligeable et même :

• sa dimension de Hausdorff est nulle^[16] ;
• presque tout réel est de mesure d'irrationalité égale à 2, d'après un théorème de Khinchin^[17].