Milieu d'un segment

Dans un espace affine, le milieu d'un segment [AB] est l'isobarycentre de la paire {A, B}, c'est-à-dire le seul point I tel que

${\displaystyle {\overrightarrow {IA}}+{\overrightarrow {IB}}={\overrightarrow {0}}}$.

Cette égalité est équivalente à chacune des propriétés suivantes :

• ${\displaystyle {\overrightarrow {IA}}=-{\overrightarrow {IB}}}$ ;
• ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=2{\overrightarrow {AI}}}$ ;
• il existe un point O tel que ${\displaystyle {\overrightarrow {OI}}={\frac {1}{2}}\left({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}\right)}$ ;
• pour tout point O, on a : ${\displaystyle {\overrightarrow {OI}}={\frac {1}{2}}\left({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}\right)}$.

Si le plan (ou l'espace) euclidien est muni d'un repère cartésien, les coordonnées du milieu d'un segment sont les demi-sommes de chacune des coordonnées des extrémités du segment. Autrement dit, dans le plan, le milieu du segment d'extrémités A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est le point de coordonnées ${\displaystyle \left({\dfrac {x_{A}+x_{B}}{2}};{\dfrac {y_{A}+y_{B}}{2}}\right)}$. On a une propriété analogue dans l'espace en ajoutant une troisième coordonnée.

Les milieux des trois côtés d'un triangle jouent un rôle important à plusieurs niveaux. Parmi les droites remarquables du triangle, on distingue notamment les médiatrices des côtés et les médianes, qui sont les droites passant par un sommet et le milieu du côté opposé.

Le théorème des milieux dans un triangle s'énonce ainsi :

Une réciproque de la première assertion du théorème existe :

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