Module projectif
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En mathématiques, un module projectif est un module (à gauche par exemple) sur un anneau tel que pour tout morphisme surjectif entre deux '-modules (à gauche) et pour tout morphisme , il existe un morphisme tel que , c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :
Autrement dit : est projectif si pour tout module , tout morphisme de vers un quotient de ' se factorise par .
- Les A-modules projectifs sont les objets projectifs de la catégorie abélienne des A-modules : P est projectif si et seulement si le foncteur Hom(P,–) (covariant, exact à gauche) est exact.
- Un module est projectif si et seulement s'il est facteur direct dans un module libre.
- Par conséquent, tout module projectif est plat. La réciproque est fausse, mais tout module plat de présentation finie est projectif.
- Sur un anneau de Dedekind A, tout module projectif de type fini est isomorphe à An ⊕ I pour un idéal I de A.
- Sur un anneau noethérien, un module de type fini est projectif si et seulement s'il est localement libre.
- D'après le théorème de Quillen-Suslin, sur un anneau de polynômes A[X1,...,Xn] où A est un anneau principal (par exemple un corps commutatif), tout module projectif de type fini est libre[1],[2]. Cette propriété est également exacte si A est un anneau de Bézout commutatif ou un anneau de valuation et, dans le cas où A est un corps commutatif, lorsque l'anneau de polynômes ci-dessus est remplacé par l'anneau de polynômes de Laurent A[X1, …, Xn, Y1, …, Ym, Y1−1, …, Ym−1][3]. Voir également l'article Anneau d'Hermite.
- Si A est un anneau commutatif noethérien sans idempotent non trivial (i.e. e2 = e implique que e = 0 ou 1), autrement dit, si son spectre est connexe pour la topologie de Zariski, tout module projectif non de type fini sur A est libre[4].
- Sur un anneau local, tout module projectif est libre[5].
