Objet projectif

Un objet ${\displaystyle P}$ dans une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est dit projectif si pour tout épimorphisme ${\displaystyle e:E\twoheadrightarrow X}$ et tout morphisme ${\displaystyle f:P\to X}$, il existe un morphisme ${\displaystyle {\overline {f}}:P\to E}$ tel que ${\displaystyle e\circ {\overline {f}}=f}$, c'est-à-dire que le diagramme suivant commute :

Autrement dit, tout morphisme ${\displaystyle P\to X}$ se factorise par les épimorphismes ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$^[1].

Si C est localement petite, et donc qu'en particulier ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(P,X)}$ est un ensemble pour tout objet X de C, cette définition est équivalente à dire que le foncteur hom (également appelé foncteur coreprésentable) :

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

préserve les épimorphismes^[2].

Si la catégorie C est une catégorie abélienne, comme la catégorie des groupes abéliens, alors P est projectif si et seulement si

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab} }$

est un foncteur exact (où Ab est la catégorie des groupes abéliens).

Une catégorie abélienne ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est dite posséder suffisamment de projectifs si, pour tout objet ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, il existe un objet projectif ${\displaystyle P}$ de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ et un épimorphisme de P vers A ou si, de manière équivalente, il existe une suite exacte courte :

${\displaystyle 0\to K\to P\longrightarrow A\longrightarrow 0.}$

L'objectif de cette définition est de s'assurer que tout objet A admette une résolution projective (en), c'est-à-dire une suite exacte :

${\displaystyle \dots P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0}$

où les objets ${\displaystyle P_{0},P_{1},\dots }$ sont projectifs.