Modèle de Maxwell

Le modèle de Maxwell est représenté par un amortisseur purement visqueux et un ressort hookéen mis en série comme l'indique le schéma ci-contre. Dans cette configuration, lorsqu'une contrainte axiale est appliquée, la contrainte totale ${\displaystyle {\sigma _{Total}}}$ et la déformation totale ${\displaystyle {\gamma _{Total}}}$ sont définies de la manière suivante :

${\displaystyle {\sigma _{Total}}={\sigma _{A}}={\sigma _{R}}}$

${\displaystyle {\gamma _{Total}}={\gamma _{A}}+{\gamma _{R}}}$

où l'indice A désigne l'amortisseur et l'indice R le ressort.

Les contraintes de l'amortisseur et du ressort sont données respectivement par :

${\displaystyle \sigma _{A}=\eta {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle \sigma _{R}=E\gamma }$

où ${\displaystyle E}$ est le module d'élasticité associé au ressort et ${\displaystyle \eta }$ le coefficient de viscosité associé à l'amortisseur représentant un fluide newtonien.

Dérivons la déformation totale par rapport au temps :

${\displaystyle {\frac {d\gamma _{Total}}{dt}}={\frac {d\gamma _{A}}{dt}}+{\frac {d\gamma _{R}}{dt}}={\frac {\sigma }{\eta }}+{\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}}$

En notant la dérivée temporelle par un point, l'équation précédente se réécrit :

${\displaystyle {\frac {\dot {\sigma }}{E}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\dot {\gamma }}}$.

En multipliant cette équation par ${\displaystyle \eta }$,

${\displaystyle \tau {\dot {\sigma }}+\sigma =\eta {\dot {\gamma }}}$

on a fait apparaître le temps de relaxation de Maxwell :

${\displaystyle \tau ={\frac {\eta }{E}}}$.

La solution générale de l'équation de Maxwell s'écrit :

${\displaystyle \sigma (t)={\frac {\eta }{\tau }}\int _{-\infty }^{t}exp(-(t-t')/\tau ){\dot {\gamma }}(t')dt'}$.

Le module de relaxation de la contrainte dans le cadre de ce modèle s'écrit :

${\displaystyle G^{*}=G'+iG''}$

avec

${\displaystyle G'={\frac {E\omega ^{2}\tau ^{2}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle G''={\frac {E\omega \tau }{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}}$

On peut remarquer que

${\displaystyle \left(G'-{\frac {E}{2}}\right)^{2}+G''^{2}={\frac {E^{2}}{4}}}$

est l'équation d'un cercle. Ainsi, la représentation de ${\displaystyle G''}$ en fonction de ${\displaystyle G'}$, dite représentation de Cole-Cole, est un demi cercle.

Remarque : la mise en parallèle d'un ressort et d'un amortisseur donne le modèle de Kelvin-Voigt.

Le modèle de Maxwell généralisé consiste à mettre en parallèle un nombre N fini d'éléments de Maxwell. Chacun de ces éléments répond aux relations énoncées ci-dessus. La contrainte totale est la somme des contraintes de chaque élément :

${\displaystyle \sigma (t)=\sum _{i=0}^{N}\sigma _{i}(t)=\sum _{i=0}^{N}{\frac {\eta _{i}}{\tau _{i}}}\int _{-\infty }^{t}exp(-(t-t')/\tau _{i}){\dot {\gamma }}(t')dt'}$.

Dans ce cas, le fluide ne comporte pas qu'un seul temps de relaxation, mais une collection ${\displaystyle \{\tau _{i}\}}$.

Cette équation peut se réécrire de la manière suivante :

${\displaystyle \sigma (t)=\int _{-\infty }^{t}G(t-t'){\dot {\gamma }}(t')dt'}$

où on a défini le module de relaxation des contraintes de cisaillement :

${\displaystyle G(t)=\sum _{i=0}^{N}{\frac {\eta _{i}}{\tau _{i}}}exp(-t/\tau _{i})}$.