Modèle multi-échelle
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Un modèle multi-échelle est un modèle utilisé pour résoudre des problèmes se manifestant simultanément à plusieurs échelles spatiales et temporelles. Il appartient à une famille de méthodes relevant de la physique mathématique utilisées en mécanique des fluides, physique des matériaux, chimie, météorologie, recherche opérationnelle, traitement d'images, etc.
Nombre de problèmes descriptibles à une petite échelle peuvent également être décrits à une plus grande échelle. Classiquement on peut citer la mécanique des fluides avec le passage de l'équation de Boltzmann à l'équation de Navier-Stokes par la méthode de Chapman-Enskog. Ce schéma de passage d'une échelle à l'autre (à une équation de type advection-diffusion) se reproduit dans de nombreux domaines décrits par une équation de type boltzmannien : transfert radiatif, neutronique, dépôt de particules dans la matière, conduction thermique (équation de Boltzmann-Peierls), aérosols (équation de Boltzmann-Williams).
On peut également rechercher des propriétés équivalentes (propriétés mécaniques ou thermiques, propriétés de perméation) d'un matériau par prise de moyenne volumique, par la théorie de l’homogénéisation (analyse asymptotique) ou l'analyse stochastique pour la définition d'un volume élémentaire représentatif dans le cas d'un milieu aléatoire.
Dans tous les cas cela revient à introduire un modèle (généralement un système linéaire) décrivant (analytiquement ou numériquement) l'échelle microscopique que l'on inclut dans le modèle macroscopique. De ce fait l'échelle microscopique disparaît.
Parfois le domaine où une description microscopique est nécessaire est d'extension suffisamment faible pour être ignoré et ses effets réduits à des conditions aux limites spécifiques comme dans le cas de la couche de Knudsen.
Toutefois il existe de nombreux cas où les échelles coexistent dans des régions de l'espace ou du temps non connu à l'avance et où les effets sont non-linéaires, par exemple la fissuration dans un matériau inhomogène à petite échelle (matériaux composites, granulaires, multiphasés, biologiques, métamatériaux). Ce type de problème fait intervenir une échelle nanoscopique décrite par la physique atomique, une échelle microscopique décrite par la dynamique moléculaire, une échelle mésoscopique traitant des petites structures du matériau et d'une échelle macroscopique traitant de la pièce mécanique étudiée[1]. Ceci a conduit à l'élaboration de méthodes physiques et numériques dans une perspective technologique (particulièrement au sein du Département de l'Énergie des États-Unis), favorisées par l'émergence du parallélisme des ordinateurs qui permet le calcul simultané des diverses échelles[2]. Le succès de cette approche a conduit à son extension à beaucoup d'autres domaines. Ainsi Martin Karplus, Michael Levitt et Arieh Warshel ont reçu le prix Nobel de chimie pour le développement d'un modèle multi-échelle combinant un modèle macroscopique décrivant assez sommairement une macromolécule et un calcul au niveau atomique pour décrire sa partie active dans l'interaction avec un autre corps[3],[4],[5]. Il faut cependant mentionner que diverses approches existaient déjà comme le couplage d'une équation de type Boltzmann avec un modèle macroscopique en mécanique des fluides[6], en conduction[7] ou en rayonnement[8].
Le succès de cette discipline a entraîné la création de revues spécialisées comme Multiscale Modeling and Simulation: A SIAM Interdisciplinary Journal du SIAM, International Journal for Multiscale Computational Engineering ou International Journal of Theoretical and Applied Multiscale Mechanics de l'IUTAM.
