Moyenne interquartile

Dans le calcul de la moyenne interquartile, seules les données comprises entre le premier et le troisième quartile sont utilisées, et les 25 % les plus bas et les 25 % les plus élevés des données sont écartés.

${\displaystyle x_{\mathrm {IQM} }={2 \over n}\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{\frac {3n}{4}}{x_{i}}}$

en supposant que les valeurs x_i ont été ordonnées^[1].

Summarize Fact Check

La méthode est mieux expliquée avec un exemple. On considère l'ensemble de données suivant :

5, 8, 4, 38, 8, 6, 9, 7, 7, 3, 1, 6

On trie d’abord la liste par ordre croissant :

1, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 38

Il y a 12 observations (points de données) dans l'ensemble de données, ce qui donne donc 4 quartiles de 3 nombres. On supprime donc les 3 valeurs les plus basses et les plus élevées :

1, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 38

Il reste maintenant 6 des 12 observations restantes ; ensuite, on calcule la moyenne arithmétique de ces nombres :

x_MIQ = 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8/6 = 6,5

C'est la moyenne interquartile.

À titre de comparaison, la moyenne arithmétique de l'ensemble de données d'origine est

5 + 8 + 4 + 38 + 8 + 6 + 9 + 7 + 7 + 3 + 1 + 6/12 = 8,5

en raison de la forte influence de la valeur aberrante, 38.

L'exemple ci-dessus comprenait 12 observations dans l'ensemble de données, ce qui rendait la détermination des quartiles très facile. Cependant, tous les ensembles de données ne contiennent pas un nombre d’observations divisible par 4. On peut ajuster la méthode de calcul de la moyenne interquartile pour tenir compte de cela. Donc, idéalement, on veut que la moyenne interquartile soit égale à la moyenne des distributions symétriques, par exemple :

1, 2, 3, 4, 5

a une valeur moyenne x_m = 3, et comme il s'agit d'une distribution symétrique, x_IQM = 3 serait souhaité.

On peut résoudre ce problème en utilisant une moyenne pondérée des quartiles et de l'ensemble de données interquartiles :

On considère l'ensemble de données suivant de 9 observations :

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

Il y a 9/4 = 2,25 observations dans chaque quartile et 4,5 observations dans l'intervalle interquartile. On tronque la taille du quartile fractionnaire et on supprime ce nombre des 1^er et 4^e quartiles (2,25 observations dans chaque quartile, donc les 2 plus bas et les 2 plus élevés sont supprimés).

1, 3, (5), 7, 9, 11, (13), 15, 17

Ainsi, il y a 3 observations complètes dans l'intervalle interquartile avec un poids de 1 pour chaque observation complète, et 2 observations fractionnaires avec chaque observation ayant un poids de 0,75 (1 – 0,25 = 0,75). On a donc un total de 4,5 observations dans l'intervalle interquartile, (3×1 + 2×0,75 = 4,5 observations).

La moyenne interquartile est désormais calculée comme suit :

x _IQM = {(7 + 9 + 11) + 0,75 × (5 + 13)} / 4,5 = 9

Dans l'exemple ci-dessus, la moyenne a une valeur x_m = 9, et le calcul de la moyenne interquartile donne la même valeur, comme souhaité. La méthode de calcul de la moyenne interquartile pour un nombre quelconque d'observations est analogue ; les contributions fractionnaires à la moyenne interquartile peuvent être de 0, 0,25, 0,50 ou 0,75.