Moyenne logarithmique

La moyenne logarithmique de deux réels strictement positifs ${\displaystyle a,b}$ est définie par :

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\text{ln}}(a,b)&=\lim _{(x,y)\to (a,b)}{\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}\\[6pt]&={\begin{cases}a&{\text{si }}a=b,\\{\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}&{\text{sinon}}\end{cases}}&=\int _{0}^{1}a^{u}b^{1-u}\mathrm {d} u\end{aligned}}}$.

Ainsi, par exemple, la moyenne logarithmique de 1 et 2 est ${\displaystyle {\frac {1}{\ln 2}}=1,4426\cdots }$, voir la suite A007525 de l'OEIS.

La moyenne logarithmique de ${\displaystyle n}$ réels positifs ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ est définie par^[2]:

${\displaystyle {\frac {1}{M_{\text{ln}}(a_{1},\ldots ,a_{n})}}=(n-1)!\int _{E_{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}a_{i}\right)^{-1}\mathrm {d} \mathbf {u} }$

ou, de manière équivalente^[3]:

${\displaystyle M_{\text{ln}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=(n-1)!\int _{E_{n-1}}\prod _{i=1}^{n}a_{i}^{u_{i}}\mathrm {d} \mathbf {u} }$

où ${\displaystyle E_{n-1}}$ désigne le simplexe euclidien

${\displaystyle E_{n-1}=\left\{(u_{1},\ldots ,u_{n-1}),\forall i\in [\![1;n-1]\!],u_{i}\geqslant 0,\sum _{i=1}^{n-1}u_{i}\leqslant 1\right\}}$

et ${\textstyle u_{n}=1-\sum _{i=1}^{n-1}u_{i}}$ et ${\textstyle \mathrm {d} \mathbf {u} =\mathrm {d} u_{1}\ldots \mathrm {d} u_{n-1}}$

Si tous les ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ sont distincts deux à deux, alors la formule se simplifie en :

${\displaystyle M_{\text{ln}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=(n-1)!\sum _{i=1}^{n}a_{i}\prod _{k=1,\,k\neq i}^{n}{\frac {1}{\ln a_{i}-\ln a_{k}}}}$

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La moyenne logarithmique est bien une moyenne, car comprise entre a et b (ce résultat est connu sous le nom d'« inégalité de Napier^[4]»). Elle est de plus homogène : ${\displaystyle M_{\ln }(ka,kb)=kM_{\ln }(a,b)}$.

La moyenne logarithmique de deux nombres est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique et à leur moyenne d'ordre 1/2, mais supérieure ou égale à leur moyenne géométrique et à leur moyenne harmonique ; plus précisément :

${\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}\leqslant {\sqrt {ab}}\leqslant M_{\text{ln}}(a,b)\leqslant \left({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}}\right)^{2}\leqslant {\frac {a+b}{2}}\qquad {\text{ pour }}a,b>0}$ ^[5],[6],[7].

Les deux inégalités extrêmes viennent de la croissance avec ${\displaystyle p}$ de la moyenne d'ordre ${\displaystyle p}$ et les deux inégalités centrales de la croissance avec ${\displaystyle p}$ de la moyenne de Stolarsky ${\displaystyle S_{p}(a,b)}$.

Ces deux dernières inégalités se démontrent élémentairement comme suit.

Pour ${\displaystyle b\geqslant a}$, on pose ${\displaystyle x={\sqrt {b/a}}}$ ; les inégalités ${\displaystyle {\sqrt {ab}}\leqslant M_{\text{ln}}(a,b)\leqslant \left({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}}\right)^{2}}$ s'écrivent alors ${\displaystyle x\leqslant {\frac {x^{2}-1}{2\ln x}}\leqslant \left({\frac {1+x}{2}}\right)^{2}}$.

En remplaçant ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x},x\geqslant 0}$, la première inégalité s'écrit ${\displaystyle x\leqslant {\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{2\mathrm {e} ^{x}}}=\sinh x}$, inégalité classique.

La deuxième s'écrit aussi ${\displaystyle \ln x\geqslant 2{\frac {x-1}{x+1}}}$ ; en remplaçant ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle \mathrm {e} ^{2x},x\geqslant 0}$, elle s'écrit ${\displaystyle x\geqslant \tanh x}$, inégalité également classique.

La relation entre les moyennes géométrique, logarithmique et arithmétique peut aussi se déduire de l'inégalité d'Hermite-Hadamard pour f = exp sur [ln(a) , ln(b)].

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D'après le théorème des accroissements finis, il existe un réel ${\displaystyle c}$ entre a et b où la dérivée d'une fonction f est égale à la pente de la sécante :

${\displaystyle \exists c\in ]a,b[:\ f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

La moyenne logarithmique est le nombre ${\displaystyle c}$ lorsque l'on prend ${\displaystyle f=\ln }$ :

${\displaystyle {\frac {1}{c}}={\frac {\ln b-\ln a}{b-a}}}$

soit :

${\displaystyle c={\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}}$

La moyenne logarithmique peut également être interprétée comme l'aire sous une courbe définie par des fonctions exponentielle :$${\displaystyle M_{\ln }(a,b)=\int _{0}^{1}a^{1-t}b^{t}\ \mathrm {d} t}$$

Carlson donne d'autres expressions intégrales^[8]: $${\displaystyle {1 \over M_{\ln }{(a,b)}}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over (1-t)a+tb}\ =\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+a)\,(t+b)}.}$$

D'après le théorème des sommes de Riemann, ${\displaystyle M_{\ln }(a,b)}$ est la limite de la suite décroissante ${\displaystyle \left({\frac {1}{n+1}}\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\sqrt[{n}]{a^{n-k}b^{k}}}\right)_{n\geqslant 0}}$, formée de moyennes arithmétiques de moyennes géométriques pondérées.

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On peut généraliser la moyenne logarithmique à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n faisant intervenir les différences divisées d'ordre n du logarithme.

On obtient

${\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}}$

où ${\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}$ désigne la différence divisée d'ordre n du logarithme.

Pour n = 2, cela donne par exemple :

${\displaystyle L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2\left[\left(y-z\right)\ln x+\left(z-x\right)\ln y+\left(x-y\right)\ln z\right]}}}}$ .

L'interprétation intégrale peut aussi être généralisée à plusieurs variables, mais elle conduit à un résultat différent. Étant donné le simplexe ${\textstyle S}$ où ${\textstyle S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geqslant 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geqslant 0\right)\}}$ et une mesure appropriée ${\textstyle \mathrm {d} \alpha }$ qui assigne au simplexe un volume égal à 1, on obtient

${\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }$

Cela peut être simplifié en utilisant les différences divisées de la fonction exponentielle pour

${\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]}$ .

Exemple pour ${\textstyle n=2}$

${\displaystyle L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)+y\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)+z\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)}{\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)}}}$ .