Moyenne de Stolarsky

Étant donné un nombre réel p différent de 0 et 1, la moyenne de Stolarsky d'ordre p de deux nombres réels strictement positifs a, b est définie par : $${\displaystyle S_{p}(a,b)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}\left({\frac {y^{p}-x^{p}}{p(y-x)}}\right)^{1/(p-1)}={\begin{cases}a&{\text{si }}a=b\\\left({\frac {b^{p}-a^{p}}{p(b-a)}}\right)^{1/(p-1)}&{\text{sinon}}\end{cases}}}$$.

Étant donné une fonction ${\displaystyle f}$ dérivable sur un intervalle ${\displaystyle [a,b],a\neq b}$, de dérivée strictement monotone sur ${\displaystyle [a,b]}$, il existe, d'après le théorème des accroissements finis, un unique réel ${\displaystyle c}$ dans l'intervalle ${\displaystyle ]a,b[}$ tel que ${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f'(x)\mathrm {d} x}$ (qui est la valeur moyenne de ${\displaystyle f'}$ sur ${\displaystyle [a,b]}$)

La moyenne de Stolarsky est précisément égale à

${\displaystyle c=f'^{-1}\left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)}$

lorsqu'on prend ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$ .

${\displaystyle S_{p}(a,b)}$ est bien une moyenne, car comprise entre a et b. De plus on peut prolonger par continuité ${\displaystyle p\mapsto S_{p}(a,b)}$ à l'ensemble des réels, ce qui donne une fonction croissante.

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }S_{p}(a,b)}$ est le minimum de a et b.
• ${\displaystyle S_{-2}(a,b)={\sqrt[{3}]{\frac {2a^{2}b^{2}}{a+b}}}={\sqrt[{3}]{M_{h}(a,b)(M_{g}(a,b))^{2}}}}$ s'exprime à partir de la moyenne harmonique et de la moyenne géométrique de a et b.
• ${\displaystyle S_{-1}(a,b)={\sqrt {ab}}}$ est leur moyenne géométrique.
• ${\displaystyle \lim _{p\to 0}S_{p}(a,b)={\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}}$ est leur moyenne logarithmique. Elle est obtenue par la formule ${\displaystyle f'^{-1}\left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)}$ en prenant ${\displaystyle f(x)=\ln x}$ .
• ${\displaystyle S_{\frac {1}{2}}(a,b)=\left({\frac {{\sqrt {b}}+{\sqrt {a}}}{2}}\right)^{2}}$ est leur moyenne (de Hölder) d'ordre 1/2.
• ${\displaystyle \lim _{p\to 1}S_{p}(a,b)={\frac {1}{\rm {e}}}\left({\frac {b^{b}}{a^{a}}}\right)^{1/(b-a)}}$ est leur moyenne identrique. Elle est obtenue à partir de la formule ${\displaystyle f'^{-1}\left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)}$ en prenant ${\displaystyle f(x)=x\cdot \ln x}$ .
• ${\displaystyle S_{2}(a,b)}$ est leur moyenne arithmétique.
• ${\displaystyle S_{3}(a,b)={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+ab}{3}}}=M_{q}(a,b,M_{g}(a,b))}$ s'exprime à partir de la moyenne quadratique et de la moyenne géométrique de a et b.
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }S_{p}(a,b)}$ est le maximum de a et b.