Nombre harmonique

Valeur de n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Valeur de Hn[1]	0[2]	1	${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {11}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {25}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {137}{60}}}$	${\displaystyle {\frac {49}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {363}{140}}}$	${\displaystyle {\frac {761}{280}}}$	${\displaystyle {\frac {7129}{2520}}}$	${\displaystyle {\frac {7381}{2520}}}$
Valeur approchée de Hn	0	1	1,5	1,8	2,1	2,3	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9

Les numérateurs et dénominateurs de ces rationnels forment, à partir de n = 1, les suites d'entiers  A001008 et  A002805 de l'OEIS.

La sous-suite des numérateurs premiers est 3, 11, 137, 761, 7 129, … ( A067657) et les indices correspondants sont 2, 3, 5, 8, 9, … ( A056903).

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La suite des nombres harmoniques croît lentement. Pour en prendre conscience, John Wrench a calculé le premier nombre harmonique plus grand que 100 : c'est celui d'indice 15 092 688 622 113 788 323 693 563 264 538 101 449 859 497^[3](p23).

La série harmonique diverge ; sa somme est +∞. On a le développement asymptotique suivant :

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{4}}}\right),}$

où ${\displaystyle \gamma }$ est la constante d'Euler-Mascheroni ; plus généralement, la formule d'Euler-Maclaurin donne :

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}+O\left({\frac {1}{n^{2p+2}}}\right),}$

où les ${\displaystyle B_{2k}}$ sont les nombres de Bernoulli.

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${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]}$, où ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]}$ est un nombre de Stirling de première espèce.

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}}$^[4].

Euler a donné la représentation intégrale suivante^[5] :

${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,\mathrm {d} x}$,

en utilisant l'identité

${\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}}$,

ce qui fournit un prolongement méromorphe ${\displaystyle z\mapsto H_{z}}$. En fait,

${\displaystyle H_{z}=\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+z}}\right)=\psi (z+1)+\gamma }$,

où ψ est la fonction digamma.

On a les propriétés suivantes concernant la forme irréductible ${\displaystyle {a_{n} \over b_{n}}}$ du rationnel H_n :

• Pour ${\displaystyle n\geqslant 2}$, ${\displaystyle b_{n}}$ est un diviseur du PPCM des entiers ${\displaystyle 2,3,\cdots ,n}$.
• Pour ${\displaystyle n\geqslant 2}$, ${\displaystyle a_{n}}$ est impair et ${\displaystyle b_{n}}$ est pair, donc (en omettant H₀ = 0) le seul nombre harmonique entier est H₁ = 1 ; d'après le théorème de Kürschák, H₁ est même la seule somme d'inverses d'entiers naturels consécutifs qui soit entière.
• Plus précisément, ${\displaystyle b_{n}}$ est divisible par ${\displaystyle 2^{\lfloor \log _{2}n\rfloor }}$ où ${\displaystyle \left\lfloor .\right\rfloor }$ désigne la partie entière^[6],[7]; en particulier ${\displaystyle b_{2^{n}}}$ est divisible par ${\displaystyle 2^{n}}$.
• Pour tout nombre premier ${\displaystyle p\geqslant 5}$, ${\displaystyle a_{p-1}}$ est divisible par p² et ${\displaystyle a_{p^{2}-1}}$ est divisible par ${\displaystyle p}$ : voir « Théorème de Wolstenholme ».
• Le postulat de Bertrand permet de démontrer que les trois seuls nombres harmoniques décimaux (cas où les seuls premiers divisant ${\displaystyle b_{n}}$ sont 2 et 5) sont H₁ = 1, H₂ = 1,5 et H₆ = 2,45^[3](p24).
• Étant donné un nombre premier ${\displaystyle p}$ :
  • On conjecture que l'ensemble ${\displaystyle J_{p}}$ des indices ${\displaystyle \geqslant 1}$ des numérateurs ${\displaystyle a_{n}}$ qui sont divisibles par ${\displaystyle p}$ est fini, et ceci a été démontré pour ${\displaystyle p=2,3,5,7}$^[8].
  • On a ${\displaystyle J_{2}=\varnothing ,J_{3}=\{2,7,22\},J_{5}=\{4,20,24\},J_{7}=\{6,42,48,\cdots ,102728\}}$ (13 éléments). ; voir la suite A229493 de l'OEIS.
  • On montre que ${\displaystyle b_{n}}$ est non multiple de ${\displaystyle p}$ ssi ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor }$ appartient à ${\displaystyle J_{p}}$, ce qui montre que si ${\displaystyle J_{p}}$ est fini, alors ${\displaystyle b_{n}}$ est multiple de ${\displaystyle p}$ à partir d'un certain rang, égal à ${\displaystyle p(\max(J_{p})+1)}$ ; par exemple, ${\displaystyle b_{n}}$ est multiple de 3 à partir de ${\displaystyle n=69}$ , ${\displaystyle b_{n}}$ est multiple de 5 à partir de ${\displaystyle n=125}$, et ${\displaystyle b_{n}}$ est multiple de 7 à partir de ${\displaystyle n=719103}$^[8].
  • Prouver la conjecture ci-dessus montrerait que les nombres harmoniques "décimaux en base ${\displaystyle b}$" (quotients d'un entier par une puissance de ${\displaystyle b}$) seraient toujours en nombre fini, puisqu'à partir d'un certain rang ${\displaystyle b_{n}}$ serait multiple d'un nombre premier n'intervenant pas dans la décomposition en produits de facteurs premiers de ${\displaystyle b}$.

On a^[9] :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\binom {k}{m}}H_{k}={\binom {n+1}{m+1}}\left(H_{n+1}-{\frac {1}{m+1}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {H_{k}}{k}}={\frac {1}{2}}\left((H_{n})^{2}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {H_{k}}{k+1}}={\frac {1}{2}}\left((H_{n+1})^{2}-\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {1}{k^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}H_{k}={\binom {2n}{n}}(2H_{n}-H_{2n})}$

Plusieurs séries numériques font apparaitre les nombres harmoniques^{[10],[11],[12]}. Parmi les plus connues, on a :

${\displaystyle \forall k\in \{2;3;...\},\,\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {H_{n}}{n^{k}}}=\left(1+{\frac {k}{2}}\right)\zeta (k+1)-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{k-2}\zeta (k-n)\zeta (n+1)}$ (Euler)

Donald Knuth établit l'égalité suivante^[13]: pour toute fonction admettant un développement en série entière ${\textstyle f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}}$, alors :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}H_{n}x^{n}=\int _{0}^{1}{\frac {f(t)-f(xt)}{1-t}}\mathrm {d} t}$

On peut en déduire la série génératrice des nombres harmoniques :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }H_{n}x^{n}=-{\frac {\ln(1-x)}{1-x}}}$