Nombre hyperharmonique

Par définition, les nombres hyperharmoniques vérifient la relation de récurrence

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=H_{n-1}^{(r)}+H_{n}^{(r-1)}.}$

Plutôt que d'utiliser les relations de récurrence, il existe une formule plus efficace pour calculer ces nombres :

${\displaystyle H_{n}^{(r)}={\binom {n+r-1}{r-1}}(H_{n+r-1}-H_{r-1}).}$

Les nombres hyperharmoniques ont une relation étroite avec la combinatoire des permutations. L'identité

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}$

se généralise en

${\displaystyle H_{n}^{(r)}={\frac {1}{n!}}\left[{n+r \atop r+1}\right]_{r},}$

où ${\displaystyle \left[{n \atop r}\right]_{r}}$ est le nombre de r-Stirling de première espèce^[3].

L'expression ci-dessus avec des coefficients binomiaux donne facilement que pour tout ordre fixe ${\displaystyle r\geq 2}$, on a l'équivalent^[4] :

${\displaystyle H_{n}^{(r)}\sim {\frac {1}{(r-1)!}}\left(n^{r-1}\ln(n)\right),}$

c'est-à-dire que le quotient des côtés gauche et droit tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

Une conséquence immédiate est que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}<+\infty }$

pour ${\displaystyle m>r}$.

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La fonction génératrice des nombres hyperharmoniques est

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}z^{n}=-{\frac {\ln(1-z)}{(1-z)^{r}}}.}$

La fonction génératrice exponentielle est beaucoup plus difficile à déduire. On a, pour tout ${\displaystyle r=1,2,\dots }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mathrm {e} ^{t}\left(\sum _{n=1}^{r-1}H_{n}^{(r-n)}{\frac {t^{n}}{n!}}+{\frac {(r-1)!}{(r!)^{2}}}t^{r}\times _{2}F_{2}\left(1,1;r+1,r+1;-t\right)\right),}$

où ₂F₂ est une fonction hypergéométrique. Le cas ${\displaystyle r=1}$ pour les nombres harmoniques est un résultat classique, le résultat général a été prouvé en 2009 par I. Mező et A. Dil^[5].

La relation suivante relie les nombres hyperharmoniques à la fonction zêta de Hurwitz^[4] :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}=\sum _{n=1}^{\infty }H_{n}^{(r-1)}\zeta (m,n)\quad (r\geq 1,m\geq r+1).}$