Nombre idoine

La définition donnée par Euler est la suivante^[1] :

Un entier naturel non nul ${\displaystyle n}$ est idoine si tout entier impair ${\displaystyle q}$ qui peut s'écrire d'une manière unique sous la forme ${\displaystyle q=x^{2}+ny^{2}}$, avec ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ naturels, est premier et si ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle ny}$ sont alors premiers entre eux.

On a trouvé depuis de nombreuses autres caractérisations de ces nombres, dont une liste se trouve dans la page  A000926 de l'OEIS. La plus simple en est la suivante :

Un entier naturel non nul ${\displaystyle n}$ est idoine si et seulement s'il ne peut pas s'écrire ${\displaystyle ab+bc+ca}$ pour des entiers vérifiant ${\displaystyle 0<a<b<c}$.

Autre définition :

Un entier naturel non nul ${\displaystyle n}$ est idoine si le groupe de classes ${\displaystyle C(-4n)}$ est isomorphe à ${\displaystyle ({\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}})^{m}}$ pour un entier ${\displaystyle m\geqslant 1}$^[2].

La liste des 65 nombres idoines obtenue par Euler est la suivante :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 et 1848

(suite A000926 de l'OEIS).

Par exemple, 11 n'est pas idoine car il peut s'écrire ${\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 1}$.

Les résultats de Peter J. Weinberger de 1973^[3] impliquent qu'il existe au plus deux autres nombres idoines, et que la liste ci-dessus est complète si l'hypothèse de Riemann généralisée est valable (certaines sources affirment à tort que les résultats de Weinberger impliquent qu'il existe au plus un autre nombre idoine)^[4].

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