Norme matricielle

La norme de Frobenius sur ${\displaystyle \mathrm {M} _{m,n}(K)}$^[3] est celle qui dérive du produit scalaire ou hermitien standard sur cet espace, à savoir

${\displaystyle (A,B)\in \mathrm {M} _{m,n}(K)^{2}\mapsto \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (A^{*}B)=\operatorname {tr} (BA^{*})}$,

où ${\displaystyle A^{*}}$ désigne la matrice adjointe de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ la trace. La norme de Frobenius est souvent notée

${\displaystyle \|A\|_{F}:=(\operatorname {tr} A^{*}A)^{1/2}=(\operatorname {tr} AA^{*})^{1/2}={\sqrt {\sum _{1\leq i\leq m \atop 1\leq j\leq n}\left|A_{ij}\right|^{2}}}}$.

C'est la norme euclidienne ou hermitienne standard de la matrice considérée comme une collection de ${\displaystyle m\times n}$ scalaires.

Si ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$, le point de vue précédent permet d'en déduire le sous-différentiel de la norme de Frobenius, qui s'écrit en ${\displaystyle A\in \mathrm {M} _{m,n}(\mathbb {R} )}$ :

${\displaystyle \partial (\|\cdot \|_{F})(A)=\{B\in M_{m,n}(K)\mid \|B\|_{F}\leq 1,~\langle B,A\rangle =\|A\|_{F}\}}$.

En réalité, ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$ est différentiable sauf en zéro où ${\displaystyle \partial (\|\cdot \|_{F})(0)}$ est la boule unité pour la norme de Frobenius.

La norme de Frobenius n'est pas une norme subordonnée, parce que ${\displaystyle \|I_{n}\|_{F}={\sqrt {n}}}$ (on a noté ${\displaystyle I_{n}}$ l'opérateur identité sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), mais c'est une norme sous-multiplicative : ${\displaystyle \|AB\|_{F}\leqslant \|A\|_{F}\,\|B\|_{F}}$.

La norme de Frobenius peut s'étendre à un espace hilbertien (de dimension infinie) ; on parle alors de norme de Hilbert-Schmidt ou encore norme 2 de Schatten.

On peut aussi voir une matrice A ∈ M_m,n(K) comme un opérateur linéaire de Kⁿ dans K^m et lui associer différents types de normes d'opérateur, à partir des normes utilisées sur Kⁿ et K^m. Par exemple, si l'on munit K^m de la norme p et Kⁿ de la norme q (avec p, q ∈ [1, ∞]), on obtient la norme d'opérateur

${\displaystyle \|A\|_{p,q}:=\sup _{\|x\|_{q}\leqslant 1}\;\|Ax\|_{p}}$.

En particulier, on note parfois

${\displaystyle \|A\|:=\|A\|_{2,2}}$,

que l'on appelle parfois la norme spectrale ou encore norme ∞ de Schatten.

La norme duale de la norme spectrale ${\displaystyle \|\cdot \|}$ pour le produit scalaire ou hermitien standard de M_m,n(K), notée et définie par

${\displaystyle \|A\|_{*}:=\sup _{\|B\|\leqslant 1}\;\left|\langle A,B\rangle \right|}$,

porte différents noms : norme nucléaire ou norme de Ky Fan ou encore norme 1 de Schatten.

La norme p de Schatten (de), due à Robert Schatten, est définie en A ∈ M_m,n(K) par

${\displaystyle \|A\|_{\sigma _{p}}:=\|\sigma (A)\|_{p}}$,

où ${\displaystyle \sigma (A)}$ est le vecteur des valeurs singulières de ${\displaystyle A}$. Ces normes ont un lien avec les normes précédentes, puisque, quel que soit A ∈ M_m,n(K), on a^[4],[5]

${\displaystyle \|A\|_{F}=\|A\|_{\sigma _{2}},\qquad \|A\|=\|A\|_{\sigma _{\infty }},\qquad \|A\|_{*}=\|A\|_{\sigma _{1}}.}$

On déduit du lien entre les normes matricielles et les normes vectorielles de ${\displaystyle \sigma (A)}$, et les inégalités sur ces normes, que pour tout A ∈ M_m,n(K) :

${\displaystyle \|A\|\leqslant \|A\|_{F}\leqslant \|A\|_{*}\leq \operatorname {rg} (A)^{1/2}\|A\|_{F}\leqslant \operatorname {rg} (A)\|A\|,}$

où ${\displaystyle \operatorname {rg} (A)}$ désigne le rang de ${\displaystyle A}$.

Ces inégalités montrent que le rang est minoré par la norme nucléaire sur la boule unité ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{A\in \mathrm {M} _{m,n}(K)\mid \|A\|\leqslant 1\}}$. Plus précisément, on peut montrer que la plus grande fonction convexe fermée qui minore le rang sur ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est la restriction à cette boule de la norme nucléaire.

Lorsque K est le corps des réels, cela revient, en notant ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\mathcal {B}}}$ l'indicatrice de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, à dire que la biconjuguée de la fonction ${\displaystyle \operatorname {rg} +{\mathcal {I}}_{\mathcal {B}}:\mathrm {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ est la fonction ${\displaystyle \|\cdot \|_{*}+{\mathcal {I}}_{\mathcal {B}}}$^[6],[7]. Sans restriction du rang à un ensemble, on obtient ${\displaystyle \operatorname {rg} ^{**}=0}$, une identité de peu d'utilité.

• L'espace M_n(K), muni d'une norme sous-multiplicative (comme une norme d'opérateur ║∙║_p,p), est un exemple d'algèbre de Banach.
• Pour toute norme N sur M_n(K), l'application bilinéaire (A, B) ↦ AB étant continue (on est en dimension finie), on est assuré de l'existence d'une constante k > 0 telle que${\displaystyle \forall A,B\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad N(AB)\leq kN(A)N(B)}$.Par suite, la norme kN est sous-multiplicative. Toute norme sur M_n(K) est donc proportionnelle à une norme d'algèbre.

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