Onde de Stokes

Équations d'Euler pour un fluide incompressible irrotationnel soumis à un champ de gravité

Pour un écoulement incompressible irrotationnel la vitesse dérive d'un potentiel ψ, les équations d'incompressibilité et de quantité de mouvement s'écrivent

${\displaystyle [1]\quad \nabla ^{2}\psi =0}$

${\displaystyle [2]\quad \rho {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\rho \,(\nabla \psi )^{2}+p+\rho gz=0}$

où ρ est la masse volumique, p la pression, g la gravité et z l'altitude.

Démonstration

On montre^[3] que pour un écoulement incompressible irrotationnel la vitesse dérive d'un potentiel ψ

${\displaystyle \mathbf {V} =\nabla \psi }$

En reportant dans l'équation d'incompressibilité  ${\displaystyle \textstyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0}$  on voit que ψ obéit à l'équation de Laplace

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}$

L'équation de quantité de mouvement s'écrit alors

${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\rho \nabla V\,\mathbf {V} +\mathbf {\nabla } p-\rho \,\mathbf {g} =0}$

Par ailleurs la gravité g dérive d'un potentiel

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi }$

À l'échelle du problème on peut considérer g constant et écrire

${\displaystyle \phi =\phi _{0}+gz}$

En remarquant que  ${\displaystyle \nabla V\,\mathbf {V} =\nabla \left({\frac {V^{2}}{2}}\right)}$  on obtient

${\displaystyle \nabla \left(\rho {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\rho V^{2}+p+\rho \phi \right)=0}$

Soit, en intégrant la constante d'intégration dans ϕ₀

${\displaystyle \rho {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\rho \,(\nabla \psi )^{2}+p+\rho gz=0}$

Milieu à surface libre

Dans le cadre d'un problème bidimensionnel, on désigne par s(x) l'altitude de la surface par rapport à sa valeur au repos z = 0.

L'équation ci-dessus s'écrit à la surface

${\displaystyle [2]\quad \rho {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\rho \,(\nabla \psi )^{2}+\rho gs=-p_{0}\quad \mathrm {en} \;z=s}$

où p₀ est la pression atmosphérique.

Cette surface est décrite par l'équation cinématique

${\displaystyle {\frac {\partial s}{\partial t}}+V_{x}{\frac {\partial s}{\partial x}}=V_{z}\quad \Rightarrow [3]\quad \quad {\frac {\partial s}{\partial t}}={\frac {\partial \psi }{\partial z}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial s}{\partial x}}}$

Par ailleurs la condition cinématique au fond z = - h(x) s'écrira

${\displaystyle V_{z}+V_{x}{\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial z}}+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial h}{\partial x}}=0}$

Dans le cas particulier d'un fond plat utilisé par la suite on a

${\displaystyle [4]\quad {\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0.}$

On cherche une solution au système constitué par les équations [1], [2], [3], [4] sous forme d'ondes périodiques progressives

${\displaystyle s=s(\theta )\,,\quad \psi =\psi (z,\theta )\,,\quad \theta =kx-\omega t=k(x-ct)}$

où θ est la phase de l'onde, k le nombre d'onde et c la vitesse de phase.

Pour s, on utilise un développement en série de Fourier autour de la solution de repos (s = 0)

${\displaystyle s=a\cos(\theta )+\mu _{2}a^{2}\cos(2\theta )+...}$

où a est l'amplitude.

Il lui correspond le développement suivant pour ψ^[4], suggéré par la solution du problème linéarisé^[5]

${\displaystyle \psi =\nu _{0}\,a^{2}t+\nu _{1}\,a\sin {\theta }+\nu _{2}\,a^{2}\sin {2\theta }\cosh(2k(z+h_{0})+...)}$

Pour ω, on choisit une forme paire de l'amplitude compatible avec la périodicité en s (ψ n'est pas nécessairement périodique)

${\displaystyle \omega =\omega _{0}(k)+a^{2}\omega _{2}(k)+...}$

La solution du système limité au second ordre conduit aux résultats suivants^[4]

• relation de dispersion

${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{gk\tau }}=1+\left({\frac {9\tau ^{4}-10\tau ^{2}+9}{8\tau ^{4}}}\right)k^{2}a^{2}+...\,,\qquad \tau =\tanh {kh_{0}}}$

• coefficients du développement pour s

${\displaystyle \mu _{2}=ka{\frac {3-\tau ^{2}}{4\tau ^{3}}}}$

μ₂ est le rapport des amplitudes des deux premières composantes de l'onde.

• coefficients du développement pour ψ

${\displaystyle \nu _{0}={\frac {gk}{2\sinh(kh_{0})}}\,,\qquad \nu _{1}={\frac {\omega _{0}}{k\sinh(kh_{0})}}\,,\qquad \nu _{2}={\frac {3\omega _{0}}{\sinh ^{4}(kh_{0})}}}$

• Vitesse de phase

${\displaystyle c={\frac {g\tau }{k}}}$

On a en particulier

• en eau profonde (k h₀ → ∞

${\displaystyle kh_{0}\rightarrow \infty \,,\quad \omega ^{2}\simeq gk[1+(ka)^{2}]\,,\qquad \qquad \quad \mu _{2}\simeq {\frac {1}{2}}ka}$

L'approche est valide pour des hauteurs de vague de faible amplitude devant la longueur d'onde

${\displaystyle \mu _{2}<<1\quad \Rightarrow \quad a<<\lambda }$

où λ = 2π/k la longueur d'onde.

• en eau peu profonde k h₀ → 0

${\displaystyle kh_{0}\rightarrow 0\,,\;\;\quad \omega ^{2}\simeq gh_{0}k^{2}\left[1+{\frac {9(ka)^{2}}{8(kh)^{4}}}\right]\,,\qquad \mu _{2}\simeq {\frac {3}{32\pi ^{2}}}\,{\mathcal {U}}\,,\quad {\mathcal {U}}={\frac {H\lambda ^{2}}{h_{0}^{3}}}}$

où U le nombre d'Ursell.

Pour une eau peu profonde l'approche est utilisable lorsque

${\displaystyle \mu _{2}<<1\quad \Rightarrow \quad {\mathcal {U}}<<{\frac {32\pi ^{2}}{3}}\simeq 100}$

• Il existe des solutions pour un développement jusqu'à l'ordre 5^[6].
• L'approche peut être utilisée pour des ondes stationnaires^[7] ou aléatoires^[8],[9].
• Tullio Levi-Civita a démontré la convergence des développements utilisés pour des ondes de faible amplitude et un milieu de profondeur infinie^[10]. Ce résultat a été étendu aux milieux à profondeur finie par Dirk Jan Struik^[11].
• Thomas Brooke Benjamin et Jim E. Feir on montré l'instabilité de la solution pour les fortes profondeurs^[12]. L'instabilité de Benjamin-Feir peut conduire à la formation d'une vague scélérate^[13].