Équation de Whitham

Elle s'écrit de la manière suivante :$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}s(x,t)+\alpha s(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}s(x,t)+\int _{\mathbb {R} }K(x-\xi ){\frac {\partial }{\partial \xi }}s(\xi ,t)\;\mathrm {d} \xi =0.}$$C'est une équation intégro-différentielle de la variable ${\displaystyle s(x,t)}$ donnant l'altitude de la surface dans un référentiel quelconque. Le noyau ${\displaystyle K(x-\xi )}$ est spécifique du problème traité.

• Pour les ondes de surface telles que l'onde de Stokes de nombre d'onde ${\displaystyle k}$ on a^[3]${\textstyle c(k)={\sqrt {{\frac {g}{k}}\tanh(kh)}}}$ et ${\textstyle \alpha ={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}}}$ où ${\displaystyle c(\cdot )}$ est la vitesse de phase, ${\displaystyle g}$ la gravité et ${\displaystyle h}$ la profondeur du milieu au repos. Ainsi, ${\displaystyle K(\omega )={\mathcal {F}}\{c(x)\}(\omega )}$, soit la transformée de Fourier de ${\displaystyle c}$⁣ ;

• On obtient l'équation de Korteweg-de Vries à partir du développement de ${\displaystyle c(k)}$ pour des ondes de grande longueur rapportée à l'amplitude ${\displaystyle kh\ll 1}$, soit ${\textstyle c(k)={\sqrt {gh}}\left(1-{\frac {1}{6}}k^{2}h^{2}\right)}$, ${\textstyle K(x)={\sqrt {gh}}\left(\delta (x)+{\frac {1}{6}}h^{2}\,\delta ^{\prime \prime }(x)\right)}$ où ${\displaystyle \delta (\cdot )}$ est la fonction de Dirac et ${\textstyle \alpha ={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}}}$.

• Bengt Fornberg et Gerald Whitham ont étudié le noyau ${\displaystyle K(\cdot )}$ adimentionné par ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$^[4] avec ${\displaystyle c(k)={\frac {\nu ^{2}}{\nu ^{2}+k^{2}}}}$, ${\displaystyle K(x)={\frac {\nu }{2}}\mathrm {e} ^{-\nu x}}$ et ${\displaystyle \alpha ={\frac {3}{2}}}$. La relation intégro-différentielle qui en résulte peut être réduite à l'équation aux dérivées partielles appelée équation de Fornberg–Whitham^[4], soit $${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-\nu ^{2}\right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}s(x,t)+{\frac {3}{2}}s(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}s(x,t)\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}s(x,t)=0.}$$Certaines solutions exhibent des discontinuités de la dérivée première (en anglais peakon) et d'ondes de choc (déferlement), ces dernières étant absentes des solutions de l'équation de Korteweg-de Vries^[4],[5].