Équation de Whitham

En physique mathématique l'équation de Whitham est une équation générale décrivant une onde de gravité dispersive non-linéaire de surface^[1]^,^[2]. Elle a été établie par Gerald Whitham en 1967^[3].

Elle s'écrit de la manière suivante : ${\frac {\partial }{\partial t}}s(x,t)+\alpha s(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}s(x,t)+\int _{\mathbb {R} }K(x-\xi ){\frac {\partial }{\partial \xi }}s(\xi ,t)\;\mathrm {d} \xi =0.$ C'est une équation intégro-différentielle de la variable $s(x,t)$ donnant l'altitude de la surface dans un référentiel quelconque. Le noyau $K(x-\xi )$ est spécifique du problème traité.

Ondes de gravité sur une surface

Pour les ondes de surface telles que l'onde de Stokes de nombre d'onde $k$ on a^[3] ${\textstyle c(k)={\sqrt {{\frac {g}{k}}\tanh(kh)}}}$ et ${\textstyle \alpha ={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}}}$ où $c(\cdot )$ est la vitesse de phase, $g$ la gravité et $h$ la profondeur du milieu au repos. Ainsi, $K(\omega )={\mathcal {F}}\{c(x)\}(\omega )$ , soit la transformée de Fourier de $c$ ⁣ ;

On obtient l'équation de Korteweg-de Vries à partir du développement de $c(k)$ pour des ondes de grande longueur rapportée à l'amplitude $kh\ll 1$ , soit ${\textstyle c(k)={\sqrt {gh}}\left(1-{\frac {1}{6}}k^{2}h^{2}\right)}$ , ${\textstyle K(x)={\sqrt {gh}}\left(\delta (x)+{\frac {1}{6}}h^{2}\,\delta ^{\prime \prime }(x)\right)}$ où $\delta (\cdot )$ est la fonction de Dirac et ${\textstyle \alpha ={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}}}$ .

Bengt Fornberg et Gerald Whitham ont étudié le noyau $K(\cdot )$ adimentionné par $g$ et $h$ ^[4] avec $c(k)={\frac {\nu ^{2}}{\nu ^{2}+k^{2}}}$ , $K(x)={\frac {\nu }{2}}\mathrm {e} ^{-\nu x}$ et $\alpha ={\frac {3}{2}}$ . La relation intégro-différentielle qui en résulte peut être réduite à l'équation aux dérivées partielles appelée équation de Fornberg–Whitham^[4], soit $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-\nu ^{2}\right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}s(x,t)+{\frac {3}{2}}s(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}s(x,t)\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}s(x,t)=0.$ Certaines solutions exhibent des discontinuités de la dérivée première (en anglais peakon) et d'ondes de choc (déferlement), ces dernières étant absentes des solutions de l'équation de Korteweg-de Vries^[4]^,^[5].

Équation de Whitham

Ondes de gravité sur une surface

Références

Voir aussi

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