Optimisation robuste

Il existe de nombreux critères de classification des problèmes/modèles d'optimisation robuste. En particulier, on peut faire la distinction entre les problèmes traitant de modèles robustes locaux ou globaux, et entre les modèles robustes probabilistes et non-probabilistes. L'optimisation robuste moderne traite d'abord de modèles robustes non-probabilistes qui cherchent à résoudre le pire des cas.

Il existe des cas dans lesquels la robustesse travaille sur de petites perturbations sur une valeur nominale d'un paramètre. Un modèle populaire de robustesse locale est le modèle du rayon de stabilité :

$${\displaystyle {\hat {\rho }}(x,{\hat {u}}):=\max _{\rho \geq 0}\ \{\rho :u\in S(x),\forall u\in B(\rho ,{\hat {u}})\}}$$

où ${\displaystyle {\hat {u}}}$ représente la valeur nominale du paramètre, ${\displaystyle B(\rho ,{\hat {u}})}$ représente une boule de rayon ${\displaystyle \rho }$ centrée en ${\displaystyle {\hat {u}}}$ et ${\displaystyle S(x)}$ représente l'ensemble des valeurs de ${\displaystyle u}$ qui satisfont le problème dans les conditions de stabilité et de performance associées à la décision ${\displaystyle x}$ comme on peut le voir sur l'image suivante :

le rectangle ${\displaystyle U(x)}$ représente l'ensemble de toutes les valeurs ${\displaystyle u}$ associées à la décision ${\displaystyle x}$.

Soit le problème d'optimisation présenté ci-dessous :

$${\displaystyle \max _{x\in X}\ \{f(x):g(x,u)\leq b,\forall u\in U\}}$$

dans lequel ${\displaystyle U}$désigne l'ensemble des valeurs possibles de ${\displaystyle u}$.

Ce problème est un problème d'optimisation robuste globale dans le sens où la contrainte de robustesse ${\displaystyle g(x,u)\leq b,\forall u\in U}$ représente toutes les valeurs possibles de ${\displaystyle U}$.

La difficulté est qu'une telle contrainte globale peut être trop contraignante dans le sens où il n'y a pas de ${\displaystyle x\in X}$ qui satisfasse cette contrainte. Mais même si un tel ${\displaystyle x\in X}$ existe, la contrainte peut être trop "conservatrice" dans le sens où une solution ${\displaystyle x\in X}$ génère un très petit objectif ${\displaystyle f(x)}$ qui n'est pas représentatif de la performance des autres décisions dans ${\displaystyle X}$. Par exemple, il pourrait y avoir un ${\displaystyle x'\in X}$ qui ne viole que légèrement la contrainte de robustesse, mais qui donne un très bon objectif ${\displaystyle f(x')}$. Dans de tels cas, il peut être nécessaire de relâcher un peu la contrainte de robustesse et/ou de modifier l'énoncé du problème.

On considère le cas où l'objectif est de satisfaire la contrainte ${\displaystyle g(x,u)\leq b}$, où ${\displaystyle x\in X}$ représente la variable de décision et ${\displaystyle u}$ est un paramètre dont l'ensemble des valeurs possibles est dans ${\displaystyle U}$. S'il n'existe pas de ${\displaystyle x\in X}$ tel que ${\displaystyle g(x,u)\leq b,\forall u\in U}$, alors la mesure de robustesse suivante est intuitive :

$${\displaystyle \rho (x)=\max _{Y\subseteq U}\ \{\mathrm {size} (Y):g(x,u)\leq b,\forall u\in Y\}\ ,\ x\in X}$$

où ${\displaystyle \mathrm {size} (Y)}$ est une mesure appropriée de la "taille" de l'ensemble ${\displaystyle Y}$. Par exemple, si ${\displaystyle U}$ est un ensemble fini, alors ${\displaystyle \mathrm {size} (Y)}$ peut être défini par la cardinalité de l'ensemble ${\displaystyle Y}$.

En bref, la robustesse d'une décision est la taille du plus grand sous-ensemble de ${\displaystyle U}$ pour lequel la contrainte ${\displaystyle g(x,u)\leq b}$ est satisfaite pour chaque ${\displaystyle u}$ dans cet ensemble. Une décision optimale est alors une décision dont la robustesse est la plus importante.

On en déduit le problème d'optimisation robuste suivant :

$${\displaystyle \max _{x\in X,Y\subseteq U}\ \{\mathrm {size} (Y):g(x,u)\leq b,\forall u\in Y\}}$$

Cette notion intuitive de robustesse globale n'est pas souvent utilisée en pratique. En effet, les problèmes d'optimisation robuste qu'elle induit sont souvent (mais pas toujours) très difficiles à résoudre.

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• P. Perny et O. Panjaard, « Optimisation robuste », sur Université Pierre-et-Marie-Curie

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