Optimum de second rang

En économie, la théorie de l’optimum de second rang ou second best étudie, dans le cadre de l’économie du bien-être, la deuxième meilleure solution lorsque l’optimum (par exemple un optimum de Pareto) ne peut pas être atteint. Elle a été développée par Kelvin Lancaster et Richard Lipsey (en).

Un état de rendement social maximum doit satisfaire toute une série de conditions. Il est peu probable que toutes ces conditions soient concrètement remplies. En effet, les contraintes institutionnelles, la taxation de certains prix et le système fiscal introduisent des distorsions qui empêchent la réalisation d'un état de rendement social maximum.

On pourrait alors envisager une comparaison de ces états non optima en se basant sur le nombre de conditions qui ne sont pas respectées. Par exemple, si le nombre de marchés en situation de concurrence parfaite est supérieur dans l'état ${\displaystyle E_{1}}$ que dans l'état ${\displaystyle E_{2}}$, on pourrait supposer que l'état ${\displaystyle E_{1}}$ soit préférable à l'état ${\displaystyle E_{2}}$ car il devrait être plus proche d'un état optimum. Cette hypothèse n'est malheureusement vérifiée que dans des cas très particuliers.

Lorsque l'état de rendement social maximum, ou optimum de premier rang, ne peut pas être obtenu, il faut chercher un optimum de second rang ("second best" en anglais). Prenons le cas d'une économie comprenant un seul consommateur et une seule fonction de production. Les conditions d'optimalité sont obtenues en maximisant l'utilité du consommateur sous les contraintes usuelles. Le lagrangien est :

${\displaystyle L=u(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{m})+\sigma \varphi ({\hat {q}}_{1},{\hat {q}}_{2},\ldots ,{\hat {q}}_{m})+\sum _{j=1}^{m}\mu _{j}(q_{j}^{o}+{\hat {q}}_{j}-q_{j})}$

où ${\displaystyle q_{j}}$ sont les quantités consommées et ${\displaystyle {\hat {q}}_{j}}$ les quantités produites des m biens (${\displaystyle j=1,\ldots ,m}$).

On obtient, entre autres, les conditions suivantes :

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial u}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial u}{\partial q_{s}}}}={\frac {\varphi _{j}}{\varphi _{s}}}\qquad j,s=1,2,\ldots ,m}$

Le taux marginal de substitution entre le bien j et le bien s doit être égal au taux de transformation des produits.

Supposons maintenant qu'une contrainte institutionnelle quelconque empêche d'obtenir cette égalité pour le premier bien. Cette contrainte peut être exprimée de la manière suivante^[1]:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial q_{1}}}=u_{1}=k{\frac {\partial \varphi }{\partial {\hat {q}}_{1}}}=k\varphi _{1}\qquad k\neq -\sigma }$

Il est alors impossible d'obtenir l'optimum de premier rang. Il faut donc calculer l'optimum de second rang en maximisant l'utilité sous cette contrainte supplémentaire. Le lagrangien devient:

${\displaystyle L=u(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{m})+\sigma \varphi ({\hat {q}}_{1},{\hat {q}}_{2},\ldots ,{\hat {q}}_{m})+\sum _{j=1}^{m}\mu _{j}(q_{j}^{o}+{\hat {q}}_{j}-q_{j})+\gamma (u_{1}-k\varphi _{1})}$

Des conditions de premier ordre :

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial u}{\partial q_{j}}}-\mu _{j}+\gamma {\frac {\partial u_{1}}{\partial q_{j}}}=0\qquad j=1,2,\ldots ,m}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\hat {q}}_{j}}}=\sigma \varphi _{j}+\mu _{j}-\gamma k{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial {\hat {q}}_{j}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \sigma }}=\varphi =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mu _{j}}}=q_{j}^{o}+{\hat {q}}_{j}-q_{j}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \gamma }}=u_{1}-k\varphi _{1}=0}$

on tire les relations suivantes :

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial u}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial u}{\partial q_{s}}}}={\frac {\sigma \varphi _{j}+\gamma {\bigl [}{\frac {\partial u_{1}}{\partial q_{j}}}-k{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial {\hat {q}}_{j}}}{\bigr ]}}{\sigma \varphi _{s}+\gamma {\bigl [}{\frac {\partial u_{1}}{\partial q_{s}}}-k{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial {\hat {q}}_{s}}}{\bigr ]}}}\qquad j,s=1,2,\ldots ,m}$

Si les fonctions d'utilité et de production sont additives, ${\displaystyle \partial u_{1}/\partial q_{j}}$ et ${\displaystyle \partial \varphi _{1}/\partial {\hat {q}}_{j}}$ sont égales à zéro pour ${\displaystyle j\neq 1}$. Dans ce cas, pour les biens de 2 à m on a les conditions suivantes :

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial u}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial u}{\partial q_{s}}}}={\frac {\varphi _{j}}{\varphi _{s}}}\qquad j,s=2,3,\ldots ,m}$

qui sont identiques à celles obtenues pour l'optimum de premier rang. Introduire la concurrence parfaite dans un marché supplémentaire est une politique optimale lorsque les fonctions d'utilité et de production sont additives. En effet, on passe, par exemple, d'un optimum de troisième rang à un optimum de second rang qui est meilleur. Les politiques "partielles" ("piecemeal policies" en anglais)^[2] sont appropriées dans ce cas.

Lorsque les fonctions d'utilité ou de production n'ont pas cette forme particulière, les conditions de l'optimum de second rang sont différentes de celles de l'optimum de premier rang, pour tous les marchés. Dans ce cas, introduire la concurrence parfaite dans une branche supplémentaire peut conduire à un état de troisième rang. Les politiques économiques tendant à introduire graduellement la concurrence parfaite dans les différents marchés n'ont aucune justification théorique lorsque les fonctions d'utilité ou de production ne sont pas additives.