Opérateur de Volterra

Pour tout ${\displaystyle (f,g)\in L^{2}([0,1])^{2}}$, d'après le théorème de Fubini, $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle Vf|g\rangle &=\int _{0}^{1}Vf(x){\overline {g(x)}}~\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{x}f(y){\overline {g(x)}}~\mathrm {d} y~\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(y){\overline {g(x)}}\mathbb {1} _{y\leq x}~\mathrm {d} y~\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(y){\overline {g(x)}}\mathbb {1} _{y\leq x}~\mathrm {d} x~\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}f(y)\int _{y}^{1}{\overline {g(x)}}~\mathrm {d} x~\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}f(y){\overline {\left(\int _{y}^{1}g(x)~\mathrm {d} x\right)}}~\mathrm {d} y\\&=\langle f|V^{*}g\rangle \end{aligned}}}$$

Pour tous ${\displaystyle f\in L^{2}([0,1])}$ et ${\displaystyle (x,y)\in [0,1]^{2}}$ tel que ${\displaystyle x\leq y}$,

$${\displaystyle |Vf(y)-Vf(x)|=\left|\int _{x}^{y}f(t)~\mathrm {d} t\right|\leq \left(\int _{x}^{y}1~\mathrm {d} t\right)^{1/2}\left(\int _{x}^{y}|f(t)|^{2}~\mathrm {d} t\right)^{1/2}\leq |x-y|^{1/2}\|f\|_{2}\leq \|f\|_{2}}$$

donc ${\displaystyle \mathrm {Im} (V)\subseteq {\mathcal {C}}^{0}([0,1])}$, donc d'après le théorème d'Ascoli en notant ${\displaystyle B}$ la boule unité fermée de ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$, ${\displaystyle {\overline {V(B)}}}$ est un compact de ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([0,1])}$. Ce raisonnement montre que ${\displaystyle {\tilde {V}}:L^{2}([0,1])\to {\mathcal {C}}^{0}([0,1])}$ (la co-restriction de ${\displaystyle V}$ à ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([0,1])}$) est un opérateur compact. Comme l'injection ${\displaystyle \iota$ :{\mathcal {C}}^{0}([0,1])\hookrightarrow L^{2}([0,1])} est un opérateur (continu), et comme ${\displaystyle V=\iota \circ {\tilde {V}}}$, on montre ainsi que ${\displaystyle V}$ est un opérateur compact.

Le même raisonnement déroulé dans le cas des fonctions continues ci-dessous permet de montrer que ${\displaystyle 0\in \sigma (V)}$ et que ${\displaystyle 0}$ n'est pas valeur propre de ${\displaystyle V}$. Par l'absurde, supposons que ${\displaystyle \sigma (V)\neq \{0\}}$, considérons ${\displaystyle \lambda \in \sigma (V)\backslash \{0\}}$. Comme ${\displaystyle V}$ est compact, ${\displaystyle \lambda }$ est un valeur propre de ${\displaystyle V}$. Considérons un vecteur propre ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle V}$ associé à ${\displaystyle \lambda }$. Pour tout ${\displaystyle x\in [0,1],\ Vf(x)=\int _{0}^{x}f(t)~\mathrm {d} t=\lambda f(x)}$, donc en dérivant (ce qui est permis, car ${\displaystyle Vf}$ est continue comme intégrale d'une fonction intégrable, donc ${\displaystyle f}$ est continue car ${\displaystyle \lambda \neq 0}$, donc ${\displaystyle Vf}$ est l'intégrale d'une fonction continue, ce qui est bien dérivable), ${\displaystyle f(x)=\lambda f'(x)}$, donc ${\displaystyle f(x)=f(0)\mathrm {e} ^{x/\lambda }=\lambda ^{-1}Vf(0)\mathrm {e} ^{x/\lambda }=0}$, ce qui est impossible car ${\displaystyle f}$ est un vecteur propre (non nul). Ainsi, ${\displaystyle 0\in \sigma (V)}$, et ${\displaystyle 0}$ n'est pas valeur propre de ${\displaystyle V}$, a fortiori ${\displaystyle V}$ n'a pas de valeur propre.

Supposons que ${\displaystyle V^{*}V}$ admet une valeur propre non nulle ${\displaystyle \lambda }$. soit ${\displaystyle f}$ un vecteur propre (non nul) de ${\displaystyle V^{*}V}$ associé à ${\displaystyle \lambda }$. Dans ces conditions, ${\displaystyle V^{*}Vf=\lambda f}$ est deux fois dérivable (même raisonnement que dans la démonstration ci-dessus), donc en dérivant deux fois, ${\displaystyle \lambda f''(t)=-f(t)}$, donc il existe ${\displaystyle (\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}}$ tel que pour tout ${\displaystyle t\in [0,1],\ f(t)=\alpha \cos(\omega t)+\beta \sin(\omega t)}$ où ${\displaystyle \omega ^{2}=1/\lambda }$. Or, pour tout ${\displaystyle t\in [0,1]}$,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda f(t)=V^{*}Vf(t)&=\int _{t}^{1}\int _{0}^{y}f(x)~\mathrm {d} x~\mathrm {d} y=\int _{t}^{1}\int _{0}^{y}\alpha \cos(\omega x)+\beta \sin(\omega x)~\mathrm {d} x~\mathrm {d} y\\&=\int _{t}^{1}\alpha \left[{\frac {\sin(\omega x)}{\omega }}\right]_{0}^{y}+\beta \left[{\frac {-\cos(\omega x)}{\omega }}\right]_{0}^{y}~\mathrm {d} y\\&={\frac {1}{\omega }}\int _{t}^{1}\alpha \sin(\omega y)-\beta \cos(\omega y)+\beta ~\mathrm {d} y\\&={\frac {1}{\omega }}\left(\alpha \left[{\frac {-\cos(\omega y)}{\omega }}\right]_{t}^{1}-\beta \left[{\frac {\sin(\omega y)}{\omega }}\right]_{t}^{1}+\beta (1-t)\right)\\&={\frac {-1}{\omega ^{2}}}(\alpha \cos(\omega )-\alpha \cos(\omega t)+\beta \sin(\omega )-\beta \sin(\omega t))+{\frac {\beta }{\omega }}(1-t)\\&={\frac {1}{\omega ^{2}}}f(t)-{\frac {\alpha \cos(\omega )+\beta \sin(\omega )}{\omega ^{2}}}+{\frac {\beta }{\omega }}(1-t)\\&=\lambda f(t)-{\frac {\alpha \cos(\omega )+\beta \sin(\omega )}{\omega ^{2}}}+{\frac {\beta }{\omega }}(1-t)\\\end{aligned}}}$$

Donc ${\displaystyle \beta =0}$ et ${\displaystyle \alpha \cos(\omega )=0}$. Or ${\displaystyle f\neq 0}$ donc ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ donc ${\displaystyle \cos(\omega )=0}$, donc il existe ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ tel que ${\displaystyle \omega =\pi /2+n\pi }$, donc ${\displaystyle \lambda ={\frac {4}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}}}}$. Le même calcul que ci-dessus montre que réciproquement, pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\ \lambda _{n}:={\frac {4}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}}}}$ est une valeur propre de ${\displaystyle V^{*}V}$. Ainsi, l'ensemble des valeurs propres non nulles de ${\displaystyle V^{*}V}$ est ${\displaystyle \{\lambda _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$. Par ailleurs, ${\displaystyle \mathrm {Ker} (V^{*}V)=\{0\}}$: en effet, si ${\displaystyle f\in \mathrm {Ker} (V^{*}V)}$, alors de même que dans la démonstration ci-dessous, pour tout ${\displaystyle x\in [0,1],\ \int _{0}^{x}f(t)~\mathrm {d} t=0}$. On en déduit que ${\displaystyle f}$ est orthogonale à toute fonction en escalier dans ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$: or celles-ci forment une partie dense de ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$, dont l'orthogonal est alors nul. Ainsi, l'ensemble des valeurs propres de ${\displaystyle V^{*}V}$ est exactement ${\displaystyle \{\lambda _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$. Il s'ensuit que ${\displaystyle |\!|\!|V^{*}V|\!|\!|=\max \limits _{n\in \mathbb {N} }|\lambda _{n}|=\lambda _{0}=4/\pi ^{2}}$ car ${\displaystyle V^{*}V}$ est symétrique. Finalement, $${\displaystyle |\!|\!|V|\!|\!|={\sqrt {\rho (V^{*}V)}}={\sqrt {|\!|\!|V^{*}V|\!|\!|}}={\sqrt {\frac {4}{\pi ^{2}}}}={\frac {2}{\pi }}.}$$