Paradoxe de la corde autour de la Terre

Dans la première formulation, la corde doit être soulevée de 1 mètre vis-à-vis l'équateur terrestre^[2], qui mesure environ 40 000 km^[3]. Vu cette grande distance, on pourrait s'attendre à avoir besoin de plusieurs kilomètres de corde supplémentaires. Puisque la circonférence est donnée par ${\displaystyle C=2\pi r}$, la réponse est donnée par ${\displaystyle 2\pi (r+1)-2\pi r=2\pi }$ mètres, soit environ 6,3 mètres^[4].

Dans la seconde formulation, considérant que 1 mètre est presque négligeable par rapport aux 40 000 km de circonférence, la première réaction pourrait être que la nouvelle position de la corde ne sera pas différente de sa position initiale au ras de la surface. Avec la formule ${\displaystyle C=2\pi r}$ et en convertissant les kilomètres en mètres, nous calculons la valeur du rayon : ${\displaystyle 40\,000\,001-40\,000\,000=2\pi r}$, soit ${\displaystyle 1=2\pi r}$, d'où ${\displaystyle r=1\div (2\pi )\approx 0,1592}$. Tout objet ou animal dont la hauteur est inférieure ou égale à 15,9 cm passera sous la corde.

La taille de la sphère ou du cercle autour duquel la corde est enroulée est sans importance ; elle peut aller de la taille d'un atome à celle de la Voie lactée^[1]. Le résultat dépend uniquement de l'élévation appliquée. De plus, comme dans le problème de la pièce qui roule (en), la forme de la corde n'est pas nécessairement circulaire : on ajoute ${\displaystyle \pi }$ fois le décalage même lorsqu'il s'agit d'un polygone simple ou d'une courbe fermée qui ne se recoupe pas. Si la forme est complexe, il faut ajouter ${\displaystyle \pi }$ fois le décalage multiplié par la valeur absolue de son nombre de tours^[5].

Le diagramme à la droite donne une analogie visuelle à l'aide d'un carré : quelle que soit la taille du carré, le périmètre ajouté est la somme des quatre arcs bleus, un cercle ayant le même rayon que le décalage.

Plus formellement, soit la circonférence de la Terre (en) (${\displaystyle c}$), son rayon (${\displaystyle r}$), le rayon ajouté (${\displaystyle \Delta r}$) et la variation de longueur de la corde (${\displaystyle \Delta c}$). Comme un cercle de rayon ${\displaystyle r}$ a une circonférence de ${\displaystyle 2\pi r}$, l'allongement de la corde sera égal à la nouvelle circonférence (${\displaystyle 2\pi (r+1)}$) moins l'ancienne circonférence (${\displaystyle 2\pi r}$) :

${\displaystyle \Delta c=2\pi (r+1)-2\pi r=2\pi ({\cancel {r}}+1-{\cancel {r}})=2\pi }$