Chung est ordonné prêtre au sein de l'Ordre des Carmes le 16 juillet 1992. Il obtient ensuite une maîtrise en exégèse biblique à l'Institut biblique pontifical en 2004[2]. De 2005 à 2008, il est définiteur provincial de l'Ordre des Carmes déchaux en Corée, avant d'assumer la charge de vice-maître du monastère d'Incheon de 2008 à 2009. Il est ensuite nommé premier définiteur de l'Ordre des Carmes déchaux en Corée, avant de devenir définiteur général de l'Ordre à Rome pour l'Extrême-Orient et l'Océanie de 2009 à 2013[4].
Sung en compagnie du cardinal Andrew Yeom Soo-jung, peu après sa nomination comme archevêque de Séoul en 2021
Le 28 octobre 2021, le pape François le nomme archevêque métropolitain de Séoul, en remplacement du cardinal Andrew Yeom Soo-jung[8],[9],[3],[4]. La cérémonie d'installation a lieu en la cathédrale de Meyongdong de Notre-Dame-de-l'Immaculée Conception à Séoul le 8 décembre 2021. Dans son homélie, il exprime sa volonté de renforcer la synodalité au sein du diocèse[10]. Le pallium lui est remis par le nonce apostolique en Corée du Sud Alfred Xuereb le 7 novembre 2022 en la cathédrale de Séoul[11].