Point fixe KPZ

En théorie des probabilités, le point fixe KPZ est un champ aléatoire de Markov et est conjecturé comme étant une limite universelle d’une large gamme de modèles stochastiques formant la classe d’universalité d’une équation aux dérivées partielles stochastiques non linéaire appelée l’équation KPZ. Bien que la classe d’universalité ait été introduite dès 1986 avec l’équation KPZ elle-même, le point fixe KPZ n’a été spécifiquement défini qu’en 2021, lorsque les mathématiciens Konstantin Matetski, Jeremy Quastel et Daniel Remenik ont donné une description explicite des probabilités de transition en termes de déterminants de Fredholm^[1].

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Introduction

Tous les modèles stochastiques de la classe KPZ ont en commun une fonction de hauteur fluctuante ou une fonction analogue, qui peut être considérée comme modélisant la croissance du modèle dans le temps. L’équation KPZ elle-même fait partie de cette classe et constitue le modèle canonique de la croissance d’interfaces aléatoires. La conjecture forte d’universalité KPZ postule que tous les modèles stochastiques de la classe d’universalité KPZ convergent, sous un certain redimensionnement de la fonction de hauteur, vers le point fixe KPZ, et que cette convergence ne dépend que de la condition initiale.

Matetski-Quastel-Remenik ont construit le point fixe KPZ pour la classe d’universalité KPZ $(1+1)$ (c’est-à-dire une dimension d’espace et une dimension de temps) sur l’espace polonais des fonctions semi-continues supérieures (UC) muni de la topologie de convergence locale UC. Ils l’ont fait en étudiant un modèle particulier de la classe d’universalité KPZ, le TASEP (« Totally Asymmetric Simple Exclusion Process ») avec des conditions initiales générales et la marche aléatoire de sa fonction de hauteur associée. Ils ont procédé en réécrivant la fonction biorthogonale du noyau de corrélation apparaissant dans la formule du déterminant de Fredholm pour la distribution multi-point des particules dans la chambre de Weyl. Ensuite, ils ont montré la convergence vers le point fixe^[1].

Soit $h(t,{\vec {x}})$ une fonction de hauteur d’un modèle stochastique avec $(t,{\vec {x}})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}$ représentant le temps et l’espace. Jusqu’à présent, seul le cas $d=1$ , noté aussi $(1+1)$ , a été étudié en profondeur, et nous fixons donc cette dimension pour la suite de l’article. Dans la classe d’universalité KPZ existent deux points d’équilibre ou points fixes: le trivial point fixe Edwards-Wilkinson (EW) et le non trivial point fixe KPZ. L’équation KPZ relie ces deux points.

Le point fixe KPZ est défini comme une fonction de hauteur ${\mathfrak {h}}(t,{\vec {x}})$ et non comme un modèle stochastique particulier avec une fonction de hauteur.

Point fixe KPZ

Le point fixe KPZ $({\mathfrak {h}}(t,x)){t\geq 0,x\in \mathbb {R} }$ est un processus de Markov tel que la distribution n-point pour $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}\in \mathbb {R}$ et $t>0$ puisse être représentée par :

\mathbb {P} _{{\mathfrak {h}}(0,\cdot )}({\mathfrak {h}}(t,x_{1})\leq a_{1},{\mathfrak {h}}(t,x_{2})\leq a_{2},\dots ,{\mathfrak {h}}(t,x_{n})\leq a_{n})=\det(I-K)_{L^{2}({x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\times \mathbb {R} )}

où $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ et $K$ est un opérateur de classe trace appelé opérateur de diffusion Brownien étendu, et l’indice indique que le processus démarre à ${\mathfrak {h}}(0,\cdot )$ ^[1].

Conjectures d’universalité KPZ

La conjecture KPZ stipule que la fonction de hauteur $h(t,{\vec {x}})$ de tous les modèles stochastiques de la classe KPZ fluctue autour de la moyenne avec un ordre de $t^{1/3}$ , et que la corrélation spatiale de cette fluctuation est de l’ordre de $t^{2/3}$ . Cela motive le soi-disant redimensionnement 1:2:3, caractéristique du point fixe KPZ. Le point fixe EW possède également un redimensionnement, le 1:2:4. Les points fixes sont invariants sous leur redimensionnement associé.

Redimensionnement 1:2:3

Le redimensionnement 1:2:3 d’une fonction de hauteur est, pour $\varepsilon >0$ :

\varepsilon ^{1/2}h(\varepsilon ^{-3/2}t,\varepsilon ^{-1}x)-C_{\varepsilon }t,

où 1:3 et 2:3 indiquent les proportions des exposants et $C_{\varepsilon }$ est une constante^[2].

Conjecture forte

La conjecture forte stipule que tous les[modèles stochastiques de la classe KPZ convergent sous le redimensionnement 1:2:3 de la fonction de hauteur si leurs conditions initiales convergent également, c’est-à-dire :

\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-3/2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t){\stackrel {(d)}{=}}{\mathfrak {h}}(t,x)

avec condition initiale :

{\mathfrak {h}}(0,x):=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}h(0,c_{2}\varepsilon ^{-1}x),

où $c_{1},c_{2},c_{3}$ sont des constantes dépendant du modèle stochastiques^[3].

Conjecture faible

Si l’on supprime le terme de croissance dans l’équation KPZ, on obtient :

\partial _{t}h(t,x)=\nu \partial _{x}^{2}h+\sigma \xi ,

qui converge sous le redimensionnement 1:2:4 :

\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t){\stackrel {(d)}{=}}{\mathfrak {h}}(t,x)

vers le point fixe EW. La conjecture faible affirme que l’équation KPZ est la seule orbite hétéroclines reliant le point fixe KPZ et le point fixe EW.

Processus d'Airy

Si l’on fixe la dimension temporelle et que l’on considère la limite :

\lim \limits _{t\to \infty }t^{-1/3}(h(c_{1}t,c_{2}t^{2/3}x)-c_{3}t){\stackrel {(d)}{=}}{\mathcal {A}}(x),

alors on obtient le Processus d'Airy $({\mathcal {A}}(x))_{x\in \mathbb {R} }$ , qui apparaît également dans la théorie des matrices aléatoires^[4].

Point fixe KPZ

Introduction

Point fixe KPZ

Point fixe KPZ

Conjectures d’universalité KPZ

Redimensionnement 1:2:3

Conjecture forte

Conjecture faible

Processus d'Airy

Références

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