Multiplicateur de Fourier

Dans le cadre des fonctions périodiques définies sur le cercle unité, la transformée de Fourier d'une fonction est simplement la suite de ses coefficients de Fourier. Pour voir que la dérivation peut être réalisée en tant que multiplicateur, on considère la série de Fourier pour la dérivée d'une fonction périodique f(t). Après avoir utilisé l'intégration par parties dans la définition du coefficient de Fourier, on a :

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t=\int _{-\pi }^{\pi }(\mathrm {i} n)f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t=\mathrm {i} n\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)}$ .

Donc, formellement, on en déduit que la série de Fourier de la dérivée est simplement la série de Fourier de f multiplié par un facteur in . Cela revient à dire que la dérivation est un opérateur multiplicateur de facteur in.

Un exemple d'opérateur multiplicateur agissant sur des fonctions sur la ligne réelle est la transformée de Hilbert. On peut montrer que la transformée de Hilbert est un opérateur multiplicateur dont le multiplicateur est donné par la ${\displaystyle m(\xi )=-\mathrm {i} \operatorname {sgn} (\xi )}$, où sgn est la fonction signe.

Enfin un autre exemple important de multiplicateur est la fonction caractéristique du cube unité dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ qui se pose dans l'étude des "sommes partielles" pour la transformée de Fourier.

Les opérateurs multiplicateurs peuvent être définis sur tout groupe G pour lequel la transformée de Fourier est également définie (en particulier, sur tout groupe abélien localement compact). La définition générale est la suivante : Si ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ est une fonction suffisamment régulière, soit ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$ désigne sa transformée de Fourier (où ${\displaystyle {\hat {G}}}$ est le dual de Pontryagin de G). Soit ${\displaystyle m:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$ une autre fonction, qu'on appellera le multiplicateur. Alors l'opérateur multiplicateur T = T_m associé à ce symbole m est défini par la formule

${\displaystyle {\widehat {Tf}}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}}(\xi ).}$

En d'autres termes, la transformée de Fourier de Tf à une fréquence ξ est donnée par la transformée de Fourier de f à cette fréquence, multipliée par la valeur du multiplicateur à cette fréquence, d'où la terminologie de "multiplicateur".

On note que la définition ci-dessus ne définit que Tf implicitement ; pour récupérer explicitement Tf, il faut calculer la transformée de Fourier inverse. Cela peut être facilement fait si f et m sont suffisamment lisses et intégrables. L'un des problèmes majeurs du sujet est de déterminer, pour tout multiplicateur spécifié m, si l'opérateur multiplicateur de Fourier correspondant reste bien défini lorsque f a une très faible régularité, par exemple si elle est seulement dans un espace L^p (voir la section sur le "problème de délimitation"). Au strict minimum, on exige généralement que le multiplicateur m soit borné et mesurable ; ceci est suffisant pour établir le caractère borné sur L² mais n'est en général pas assez fort pour donner un caractère borné sur d'autres espaces.

On peut voir l'opérateur multiplicateur T comme la composition de trois opérateurs, à savoir la transformée de Fourier, l'opération de multiplication ponctuelle par m, puis la transformée de Fourier inverse. De manière équivalente, T est la conjugaison de l'opérateur de multiplication ponctuelle par la transformée de Fourier. Ainsi, on peut considérer les opérateurs multiplicateurs comme des opérateurs diagonalisés par la transformée de Fourier.

On considère maintenant la définition générale ci-dessus à des groupes spécifiques G. Dans un premier temps, on s'arrête au cercle unitaire ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ ;} les fonctions sur G peuvent donc être considérées comme des fonctions 2π-périodiques sur la droite réelle. Dans ce groupe, le dual de Pontryagin est le groupe des entiers, ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {Z} .}$ La transformée de Fourier (pour des fonctions suffisamment régulières f) est donnée par

${\displaystyle {\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} nt}\mathrm {d} t}$

et la transformée de Fourier inverse est donnée par

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}.}$

Un multiplicateur dans ce cadre est simplement une suite${\displaystyle (m_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ de nombres, et l'opérateur T = T_m associé à ce multiplicateur est alors donné par la formule

${\displaystyle (Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt},}$

au moins pour des multiplicateurs ${\displaystyle (m_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ bien choisis et la fonction f.

Soit maintenant G un espace euclidien ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$. Ici, le groupe dual est également euclidien, ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},}$ et les transformées de Fourier et de Fourier inverse sont données par les formules

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi ):={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi x\cdot \xi }\mathrm {d} x\\f(x)={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi x\cdot \xi }\mathrm {d} \xi .\end{aligned}}}$

Un multiplicateur dans ce cadre est une fonction ${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ et l'opérateur multiplicateur associé ${\displaystyle T=T_{m}}$ est défini par

${\displaystyle Tf(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi x\cdot \xi }\mathrm {d} \xi ,}$

en supposant à nouveau des hypothèses de régularité et de délimitation suffisamment fortes sur le multiplicateur et la fonction.

Au sens des distributions, il n'y a pas de différence entre les opérateurs multiplicateurs et les opérateurs de convolution ; tout multiplicateur T peut aussi être exprimé sous la forme Tf = f ∗ K pour une distribution K, connue sous le nom de noyau de convolution de T. De ce point de vue, la translation d'une quantité x₀ est une convolution avec une fonction delta de Dirac δ(· − x₀), la dérivation est une convolution avec δ'. D'autres exemples sont donnés supra.

Le tableau suivant montre quelques exemples courants d'opérateurs multiplicateurs sur le cercle unitaire ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$

Nom	Multiplicateur ${\displaystyle m_{n}}$	Opérateur ${\displaystyle Tf(t)}$	Noyau ${\displaystyle K(t)}$
Identité	1	f(t)	Delta de Dirac ${\displaystyle \delta (t)}$
Multiplication par une constante c	c	cf(t)	${\displaystyle c\delta (t)}$
Translation par s	e–ins	f(t − s)	${\displaystyle \delta (t-s)}$
Dérivation	in	${\displaystyle f'(t)}$	${\displaystyle \delta '(t)}$
Dérivée d'ordre k	${\displaystyle (\mathrm {i} n)^{k}}$	${\displaystyle f^{(k)}(t)}$	${\displaystyle \delta ^{(k)}(t)}$
Opérateur différentiel polynomial à coefficients constants	${\displaystyle P(\mathrm {i} n)}$	${\displaystyle P\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)f(t)}$	${\displaystyle P\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)\delta (t)}$
Dérivée fractionnaire d'ordre ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle |n|^{\alpha }}$	${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|^{\alpha }f(t)}$	${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|^{\alpha }\delta (t)}$
Moyenne	${\displaystyle 1_{n=0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,\mathrm {d} t}$	1
Signal centré	${\displaystyle 1_{n\neq 0}}$	${\displaystyle f(t)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,\mathrm {d} t}$	${\displaystyle \delta (t)-1}$
Intégration (d'un signal centré)	${\displaystyle {\frac {1}{in}}1_{n\neq 0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(\pi -s)f(t-s)\,\mathrm {d} s}$	Signal en dents de scie ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-\left\{{\frac {t}{2\pi }}\right\}\right)}$
Transformée de Hilbert H d'un signal 2π-périodique	${\displaystyle 1_{n\geq 0}-1_{n<0}}$	${\displaystyle Hf:=\mathrm {v.p.} {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {f(s)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (t-s)}-1}}\,\mathrm {d} s}$	${\displaystyle \mathrm {v.p.} 2{\frac {f(s)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (t-s)}-1}}\,\mathrm {d} s}$
Somme de Dirichlet ${\displaystyle D_{N}}$	${\displaystyle 1_{-N\leq n\leq N}}$	${\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}}$	Noyau de Dirichlet ${\displaystyle {\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}}$
Somme de Fejér ${\displaystyle F_{N}}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {|n|}{N}}\right)1_{-N\leq n\leq N}}$	${\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {|n|}{N}}\right){\hat {f}}(n)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}}$	Noyau de Fejér ${\displaystyle {\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}Nt\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}\right)^{2}}$
Multiplicateur général	${\displaystyle m_{n}}$	${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}}$	${\displaystyle T\delta (t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}}$
Opérateur de convolution général	${\displaystyle {\hat {K}}(n)}$	${\displaystyle f*K(t):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(s)K(t-s)\,\mathrm {d} s}$	${\displaystyle K(t)}$

Le tableau suivant montre quelques exemples courants d'opérateurs multiplicateurs sur l'espace euclidien ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ .

Nom	Multiplicateur ${\displaystyle m(\xi )}$	Opérateur ${\displaystyle Tf(x)}$	Noyau ${\displaystyle K(x)}$
Opérateur identité	1	f(x)	${\displaystyle \delta (x)}$
Multiplication par une constante c	c	cf(x)	${\displaystyle c\delta (x)}$
Translation par y	${\displaystyle \mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi y\cdot \xi }}$	${\displaystyle f(x-y)}$	${\displaystyle \delta (x-y)}$
Dérivée unidimensionnelle ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}$	${\displaystyle 2\mathrm {i} \pi \xi }$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)}$	${\displaystyle \delta '(x)}$
Dérivée partielle ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$	${\displaystyle 2\mathrm {i} \pi \xi _{j}}$	${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)}$	${\displaystyle {\frac {\partial \delta }{\partial x_{j}}}(x)}$
Laplacien ${\displaystyle \Delta }$	${\displaystyle -4\pi ^{2}|\xi |^{2}}$	${\displaystyle \Delta f(x)}$	${\displaystyle \Delta \delta (x)}$
Opérateur différentiel à coefficients constants ${\displaystyle P(\nabla )}$	${\displaystyle P(\mathrm {i} \xi )}$	${\displaystyle P(\nabla )f(x)}$	${\displaystyle P(\nabla )\delta (x)}$
Dérivé fractionnaire d'ordre ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (2\pi |\xi |)^{\alpha }}$	${\displaystyle (-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}f(x)}$	${\displaystyle (-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\delta (x)}$
Potentiel de Riesz d'ordre ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (2\pi |\xi |)^{-\alpha }}$	${\displaystyle (-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)}$	${\displaystyle (-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}\delta (x)=c_{n,\alpha }|x|^{\alpha -n}}$
Potentiel de Bessel d'ordre ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \left(1+4\pi ^{2}|\xi |^{2}\right)^{-{\frac {\alpha }{2}}}}$	${\displaystyle (1-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi )^{\frac {\alpha }{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-{\frac {\pi }{s}}|x|^{2}}\mathrm {e} ^{-{\frac {s}{4\pi }}}s^{\frac {-n+\alpha }{2}}{\frac {\mathrm {d} s}{s}}}$
Opérateur de la chaleur ${\displaystyle \exp(t\Delta )}$	${\displaystyle \exp \left(-4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)}$	${\displaystyle \exp(t\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {e} ^{-{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,\mathrm {d} y}$	Noyau de la chaleur ${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {|x|^{2}}{4t}}}}$
Opérateur d'évolution de l'équation de Schrödinger ${\displaystyle \exp(\mathrm {i} t\Delta )}$	${\displaystyle \exp \left(-\mathrm {i} 4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)}$	${\displaystyle \exp(\mathrm {i} t\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi \mathrm {i} t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,\mathrm {d} y}$	Noyau de Schrödinger ${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi \mathrm {i} t)^{\frac {n}{2}}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {|x|^{2}}{4t}}}}$
Transformation de Hilbert unidimensionnelle H	${\displaystyle -\mathrm {i} \operatorname {sgn}(\xi )}$	${\displaystyle Hf:=\mathrm {v.p.} {\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(y)}{x-y}}\,\mathrm {d} y}$	${\displaystyle \mathrm {v.p.} {\frac {1}{\pi x}}}$
Transformée de Riesz Rj	${\displaystyle -\mathrm {i} {\frac {\xi _{j}}{|\xi |}}}$	${\displaystyle R_{j}f:=\mathrm {v.p.} c_{n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)(x_{j}-y_{j})}{|x-y|^{n+1}}}\,\mathrm {d} y}$	${\displaystyle \mathrm {v.p.} {\frac {c_{n}x_{j}}{|x|^{n+1}}},\quad c_{n}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}(n+1)\right)}{\pi ^{{\frac {1}{2}}(n+1)}}}}$
Transformation partielle (unidimensionnelle) de Fourier ${\displaystyle S_{R}^{0}}$	${\displaystyle 1_{-R\leq \xi \leq R}}$	${\displaystyle \int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi x\xi }\mathrm {d} x}$	${\displaystyle {\frac {\sin(2\pi Rx)}{\pi x}}}$
Multiplicateur sur le disque ${\displaystyle S_{R}^{0}}$	${\displaystyle 1_{|\xi |\leq R}}$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi x\xi }\mathrm {d} x}$	${\displaystyle |x|^{-{\frac {n}{2}}}J_{\frac {n}{2}}(2\pi |x|)}$ (J est une fonction de Bessel)
Opérateur de Bochner–Riesz ${\displaystyle S_{R}^{\delta }}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }}$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }{\hat {f}}(\xi )\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi x\cdot \xi }\mathrm {d} \xi }$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi x\cdot \xi }\mathrm {d} \xi }$
Multiplicateur général	${\displaystyle m(\xi )}$	${\displaystyle \int _{R^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi x\cdot \xi }\mathrm {d} \xi }$	${\displaystyle \int _{R^{n}}m(\xi )\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi x\cdot \xi }\mathrm {d} \xi }$
Opérateur de convolution général	${\displaystyle {\hat {K}}(\xi )}$	${\displaystyle f*K(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)K(x-y)\,\mathrm {d} y}$	${\displaystyle K(x)}$

L'application ${\displaystyle m\mapsto T_{m}}$ est un homéomorphisme de C*-algèbres. Cela se déduit du fait que la somme de deux opérateurs multiplicateurs ${\displaystyle T_{m}}$ et ${\displaystyle T_{m'}}$ est un opérateur multiplicateur avec pour multiplicateur ${\displaystyle m+m'}$, la composition de ces deux opérateurs multiplicateurs est un opérateur multiplicateur avec multiplicateur ${\displaystyle mm',}$ et l'adjoint d'un opérateur multiplicateur ${\displaystyle T_{m}}$ est un autre opérateur multiplicateur avec multiplicateur ${\displaystyle {\overline {m}}}$.

En particulier, on voit que deux opérateurs multiplicateurs quelconques commutent l'un avec l'autre. On sait que les opérateurs multiplicateurs sont invariants par translation. Inversement, on peut montrer que tout opérateur linéaire invariant par translation qui est borné sur L²(G) est un opérateur multiplicateur.