Problème d'Alhazen
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Le problème d'Alhazen est un problème d'optique géométrique concernant la réflexion sur un miroir sphérique. Il porte le nom d'Alhazen en référence au mathématicien arabe du XIe siècle Alhazen (Ibn al-Haytham) qui en présenta une solution géométrique dans son Traité d'optique. La solution algébrique requiert une équation quartique. La solution du problème est, en général, non constructible à la règle et au compas.
Le but est de résoudre le problème optique suivant : « Étant donnée une source de lumière et un miroir sphérique, convexe ou concave, trouver le point de la surface où le rayon lumineux se réfléchit avant d'atteindre l’œil de l'observateur. » Ce problème est analogue à la question : « Sur un billard circulaire, dans quelle direction envoyer la boule pour qu'elle rebondisse sur le bord du billard avant d'atteindre la boule cible ? »
La solution pour un miroir plan est connue de longue date : c'est le point d'intersection du miroir plan avec la droite joignant l'œil de l'observateur et le symétrique de la source de lumière par rapport au miroir plan. Cette propriété est tirée du fait que le rayon lumineux se réfléchit sur une surface en restant dans un même plan et en conservant le même angle par rapport à la normale à la surface.
Le problème de la réflexion sur un miroir sphérique, dans son aspect symétrique, est étudié dès le IIe siècle par Claude Ptolémée[1].
Une traduction géométrique de ce problème est : « Étant donnés deux points A et B d'un plan et un cercle donné de centre O et de rayon r, trouver le point D du cercle tel que la droite (DO) soit bissectrice de l'angle (ADB). »
Solution d'Ibn al-Haytham
Ibn al-Haytham résout le problème à l'aide d'intersections de coniques et présente une preuve géométrique en 6 lemmes[2] dans son Traité d'optique (XIe siècle). Il ramène le problème à la construction d'une sécante dans un triangle isocèle :
- On reprend la traduction supra : trouver le point D d'un cercle de centre O et de rayon r tel que (OD) soit bissectrice de l'angle AOB. On construit un triangle isocèle MNP dont l'angle au sommet P est égal à AOB. On place sur la base [MN] un point F tel que . On trace par F une sécante au triangle qui coupe [NP] en Q et la médiatrice de [MN] en S de telle sorte que (cette construction utilise l'intersection d'une hyperbole et d'un cercle) et il démontre que l'angle SQN est égal à l'angle BOD où D est le point recherché.
Il ne se limite pas au miroir sphérique mais résout le cas du miroir cylindrique et du cône[1]. Son œuvre est traduite en latin entre la fin du XIIe siècle et le début du XIIIe siècle. Vitellion publie en 1270 une Optique largement inspirée du traité d'Alhazen et qui contient le problème[3] sans rien apporter de neuf puis l'œuvre d'Alhazen est publiée à Bâle en 1572[4].
