Problème de Skolem
From Wikipedia, the free encyclopedia
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, le problème de Skolem est le problème de déterminer s'il existe, parmi les éléments d'une suite récurrente linéaire à coefficients constants, un terme qui est nul. Le problème peut être formulé pour divers types de nombres, y compris les entiers relatifs, les nombres rationnels, et les nombres algébriques. Il n'est pas connu s'il existe un algorithme qui permet de résoudre ce problème[1].
Une relation de récurrence linéaire définit les valeurs d'une suite de nombres comme combinaison linéaire de valeurs précédentes ; par exemple, les entiers de la suite de Fibonacci peuvent être définis par la relation de récurrence
avec les valeurs initiales et .
Le problème de Skolem porte le nom de Thoralf Skolem qui, dans un article de 1933, démontre ce qu'on appelle le théorème de Skolem-Mahler-Lech sur les termes nuls d'une suite vérifiant une relation de récurrence linéaire à coefficients constants[2],[3]. Le théorème dit que, si une telle suite possède des termes nuls, ceux-ci apparaissent, à un nombre fini d'exceptions près, à des positions qui se répètent régulièrement. Skolem démontre cette propriété pour des récurrences sur les nombres rationnels, et Mahler[4],[5],[6] puis Lech[7] l'étendent à d'autres corps de nombres. Les démonstrations du théorème ne donnent pas d'indication comment on pourrait tester si des zéros existent.
