Problème de la chèvre

En mathématiques récréatives, le problème de la chèvre est le nom donné à divers problèmes concernant la superficie qu'une chèvre attachée à un pieu peut brouter en liaison avec la longueur de sa corde, dans diverses situations. On présente ici deux variantes classiques, ayant la particularité rare en mathématiques récréatives d'obliger à résoudre des équations non algébriques, la première demandant de surcroît un calcul d'aire non élémentaire. On trouvera dans les références suivantes de nombreuses autres variantes^[1]^,^[2]^,^[3].

Énoncé

Une chèvre est attachée à une tour circulaire (ou un silo) de rayon $R$ située dans un champ. Sachant que sa corde est de longueur $L$ , quelle superficie d'herbe pourra-t-elle brouter ?

Réponse

Si $L$ est inférieure ou égale à $\pi R$ , la superficie atteignable vaut $\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {L}{3R}}\right)L^{2}$ .

Pour $L>\pi R$ , il faut retrancher à cette valeur $R^{2}\left({\frac {\tan ^{3}u}{3}}-{\alpha }\right)$ , où $\tan u-u=\alpha =L/R-\pi$ , $u\in ]0,\pi /2[$ .

Pour une longueur de corde égale à la circonférence de la tour, on trouve par exemple $S\approx 117,6R^{2}$ . Cela donne une surface de broutage égale à 76 256 yards carrés pour le problème historique ci-après.

Historique

Ce problème a été publié dans l'édition de 1748 de la revue annuelle anglaise The Ladies' Diary, sous la question CCCIII attribuée à un certain Upnorensis :

Un cheval se trouvant dans un parc, avec l'extrémité d'une corde attachée à son pied avant, et l'autre extrémité à une clôture circulaire métallique entourant un étang de circonférence 160 yards, égale à la longueur de la corde, quelle superficie au plus le cheval peut-il brouter?

Démonstration dans le cas

L/R\leqslant \pi

L'aire balayée par la corde est formée d'un demi-disque de rayon L et de deux fois l'aire balayée par le segment tangent au cercle dont l'extrémité décrit la développante de cercle d'équation

$x=R\cos t+Rt\sin t,y=R\sin t-Rt\cos t$ , pour $t$ allant de 0 à $L/R$ .

D'après le théorème de Mamikon, cette aire est la même que si la corde était attachée à un point fixe, autrement dit, l'aire balayée par le vecteur

$(Rt\sin t,-Rt\cos t)$ .

À un changement de repère près, cette aire est celle décrite par le rayon vecteur de la spirale d'Archimède d'équation polaire $\rho =R\theta$ , pour $\theta$ allant de allant de 0 à $L/R$ . En utilisant la formule de l'aire en polaires $S=1/2\int \rho ^{2}d\theta$ , on trouve $S=R/6(L/R)^{3}={\frac {L^{3}}{6R}}$ .

D'où l'aire balayée totale : ${\frac {\pi L^{2}}{2}}+{\frac {L^{3}}{3R}}$ .

Démonstration dans le cas

L/R>\pi

En utilisant les notations de la figure ci-contre, l'aire de la zone 1 vaut $\pi L^{2}/2$ , et celle de la zone 2+3+4 vaut toujours $L^{3}/(6R)$ , or il faut retirer maintenant la zone 4.

On trouve (voir plus loin) que la zone 4+5 vaut $R^{2}(\tan ^{3}u)/6$ où $u$ est solution de $\tan u-u=\alpha =L/R-\pi$ , ( $\alpha =\pi /2$ sur la figure).

La zone 5 vaut évidemment $\alpha R^{2}/2$ .

Donc l'aire de broutage est égale à $S=\pi {\frac {L^{2}}{2}}+{\frac {L^{3}}{3R}}-2R^{2}\left({\frac {\tan ^{3}u}{6}}-{\alpha \over 2}\right)$ où $\tan u-u=\alpha =L/R-\pi$ .

Démonstration du calcul de l'aire de la zone 4+5

Il s'agit de l'aire balayée par le rayon vecteur du point de départ de la développante à un angle $\alpha$ .

Or en coordonnées polaires, celle-ci a pour paramétrisation $\rho =R/\cos u,\theta =\tan u-u$

L'aire est donc égale à $1/2\int \rho ^{2}d\theta$ , qui s'intègre en $R^{2}(\tan ^{3}u)/6$ , d'où le résultat.

Deuxième variante : chèvre pouvant brouter la moitié du pré

Énoncé

Un chèvre étant attachée à un pieu situé à la circonférence d'un pré circulaire de rayon $R$ , quelle doit être la longueur $L$ de sa corde pour qu'elle n'ait accès qu'à la moitié de la surface du pré?

Réponse

$L=2\cos {\frac {u}{2}}.R$ où $u$ est solution de $\sin u-u\cos u=\pi /2$ d'où $L\approx 1,15873.R$

Les décimales de $k=L/R$ sont données par la suite A133731 de l'OEIS, et celles de $u$ par la suite A173201 de l'OEIS.

Historique

Le problème a été publié sans habillage animalier en 1894 dans la première édition de la célèbre revue American Mathematical Monthly. Attribué à Charles E. Myers, il a été rédigé comme suit :

Un cercle renfermant un acre est coupé par un autre dont le centre est sur la circonférence du cercle donné, et l'aire commune aux deux est d'un demi-acre. Trouver le rayon du cercle de coupe.

Démonstration trigonométrique

Avec les notations de la figure, l'angle $AOC$ , noté $x$ , est Le double de l'angle $ABC$ , d'après le théorème de l'angle inscrit ; ce dernier vaut donc $x$ /2, et l'angle $OAC$ vaut $y=(\pi -x)/2$ . L'aire du secteur de cercle $ADC$ vaut donc $(\pi -x)L^{2}/4$ ; comme $L=2R\sin(x/2)$ , cette aire vaut $(\pi -x)\sin ^{2}(x/2)R^{2}$ .

L'aire du segment de disque bleu est égale à l'aire du secteur $OAC$ moins celle du triangle $OAC$ , soit $(x-\sin x)R^{2}/2$ .

L'aire de broutage égale à la moitié de celle du pré s'exprime donc par la relation $2(\pi -x)\sin ^{2}(x/2)R^{2}+(x-\sin x)R^{2}=\pi R^{2}/2$ , laquelle se simplifie en :

$\sin x-(x-\pi )\cos x=\pi /2$ , avec $L=2R\sin(x/2)$ .

Posant $u=\pi -x$ , on obtient bien :

$\sin u-u\cos u=\pi /2$ , avec $L=2R\cos(u/2)$ .

Utilisation de la formule de l'aire d'une lentille

L'aire d'une lentille intersection de deux disques s'exprime en fonction des rayons $R$ et $r$ et de la distance $d$ entre les centres par la formule :

$S=r^{2}\arccos \left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\arccos \left({\frac {d^{2}+R^{2}-r^{2}}{2dR}}\right)-2\Delta$