Propriété de la moyenne

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En analyse mathématique, la propriété de la moyenne caractérise les fonctions harmoniques.

Soient $u$ une fonction harmonique sur un ouvert $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ et ${\overline {B(x,R)}}$ une boule fermée incluse dans cet ouvert. Alors, la valeur de $u$ au centre $x$ de cette boule est égale à la valeur moyenne de $u$ à sa surface. Cette valeur $u(x)$ est donc aussi égale à la valeur moyenne de $u$ à l'intérieur de la boule. Autrement dit : $u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV$ ^[1],où $\omega _{n}$ désigne le volume de la boule unité de dimension $n$ et $\sigma$ la mesure de surface sur la $n-1$ -sphère bordant $B(x,R)$ .
Réciproquement^[2], une fonction $u$ continue sur $\Omega$ est harmonique dès qu'elle vérifie la propriété de la moyenne, c'est-à-dire dès que :

\forall {\overline {B(x,R)}}\subset \Omega \quad u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma

.

Références

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