Pyramide à base carrée

Pyramide de Khéops théorique

D'après Hérodote, les proportions de la pyramide de Khéops sont telles que le carré construit sur la hauteur a une aire égale à celle d'une face latérale^[1]. Cette citation est probablement apocryphe^[2], mais elle conduit à une pente ${\displaystyle {\frac {2h}{a}}={\sqrt {\varphi }}}$, où ${\displaystyle \varphi }$ est le nombre d'or, or ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}\approx 14/11}$, pente choisie par les constructeurs de la pyramide ; de plus ${\displaystyle {\frac {2a}{h}}={\frac {4}{\sqrt {\varphi }}}\approx {\frac {22}{7}}}$ est une valeur approchée de ${\displaystyle \pi }$. Le triangle formé par la hauteur et une arête est alors un triangle de Kepler.

Mensurations

Davantage d’informations sixième de cube ...

	cas général	sixième de cube ${\displaystyle h={\frac {a}{2}}=0,5a}$	Khéops théorique ${\displaystyle h={\sqrt {\varphi }}/2\cdot a\approx 0,636a}$	solide de Johnson (demi-octaèdre) : ${\displaystyle h=a/{\sqrt {2}}\approx 0,707a}$	cube raboté (sommet = centre d'une face, base = face opposée) : ${\displaystyle h=a}$
longueur d’arête latérale	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}+h^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi +2}}\cdot a\approx 0,95a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}a}$
hauteur des faces latérales (apothème)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+4h^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\varphi }{2}}a}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{2}}}a}$
angle au sommet des faces latérales	${\displaystyle 2\operatorname {arccot} {\sqrt {1+4{\frac {h^{2}}{a^{2}}}}}}$ ${\displaystyle =\arccos {\frac {2h^{2}}{a^{2}+2h^{2}}}}$	${\displaystyle 2\operatorname {arccot} {\sqrt {2}}}$${\displaystyle =\arccos {\frac {1}{3}}\approx 70^{\circ }32'}$supplémentaire de l'angle tétraédrique	${\displaystyle 2\operatorname {arccot} \varphi =\arctan 2}$ ${\displaystyle =\arccos {\frac {1}{\sqrt {5}}}\approx 63^{\circ }26'}$  A105199	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }}$	${\displaystyle 2\operatorname {arccot} {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle =\arccos {\frac {2}{3}}\approx 48^{\circ }11'}$  A228496
aire des faces latérales	${\displaystyle {\frac {a}{4}}{\sqrt {a^{2}+4h^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\varphi }{4}}a^{2}=h^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{4}}a^{2}}$
aire totale	${\displaystyle a(a+{\sqrt {a^{2}+4h^{2}}})}$	${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a^{2}}$	${\displaystyle \varphi ^{2}a^{2}}$	${\displaystyle (1+{\sqrt {3}})a^{2}}$	${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})a^{2}}$
volume	${\displaystyle {\frac {1}{3}}a^{2}h}$	${\displaystyle {\frac {a^{3}}{6}}}$	${\displaystyle {{\sqrt {\varphi }} \over 6}a^{3}}$	${\displaystyle {{\sqrt {2}} \over 6}a^{3}}$	${\displaystyle {\frac {a^{3}}{3}}}$
angle dièdre base face latérale	${\displaystyle \theta _{b}=\arctan {\frac {2h}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=45^{\circ }}$	${\displaystyle \arctan {\sqrt {\varphi }}\approx 51^{\circ }50'}$  A195692	${\displaystyle \arctan {\sqrt {2}}\approx 54^{\circ }44'}$, angle magique	${\displaystyle \arctan {2}\approx 63^{\circ }26'}$ A105199
angle dièdre entre deux faces latérales	${\displaystyle \theta _{l}=\arccos \left({\tfrac {-a^{2}}{a^{2}+4h^{2}}}\right)}$${\displaystyle \cos \theta _{l}=-\cos ^{2}\theta _{b}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}=120^{\circ }}$	${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{\varphi ^{2}}}\right)\approx 112^{\circ }27'}$	${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109^{\circ }28'}$, angle tétraédrique	${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{5}}\right)\approx 101^{\circ }32'}$
angle dièdre entre deux faces latérales opposées	${\displaystyle \pi -2\theta _{b}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }}$	${\displaystyle \pi -2\arctan {\sqrt {\varphi }}}$	${\displaystyle \arccos {\frac {1}{3}}\approx 70^{\circ }32'}$	${\displaystyle \pi -2\arctan {2}\approx 53^{\circ }7'}$
angle solide au sommet	${\displaystyle 4\theta _{l}-2\pi }$${\displaystyle =4\arcsin \left({\tfrac {a^{2}}{a^{2}+4h^{2}}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}=120^{\circ }}$	${\displaystyle 4\arcsin {\frac {1}{\varphi ^{2}}}}$	${\displaystyle 4\arcsin {\frac {1}{3}}\approx 77^{\circ }53'}$	${\displaystyle 4\arcsin {\frac {1}{5}}\approx 46^{\circ }9'}$
ordonnée du centre de la sphère circonscrite	${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}-{\frac {a^{2}}{4h^{2}}}\right)h}$	${\displaystyle -{\frac {h}{2}}}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\varphi }}\right)h}$	0	${\displaystyle {\frac {h}{4}}}$ (= ordonnée du centre de masse)

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