Racine carrée d'un entier naturel

En mathématiques, la^[a] racine carrée d'un entier naturel $N$ est le nombre réel positif ou nul qui, multiplié par lui-même, donne cet entier. Elle se note ${\sqrt {N}}$ ou $N^{1/2}$ . La racine carrée d'un entier positif est positive, la racine carrée de zéro est nulle.

La racine carrée de $N$ est un nombre algébrique, entier ou bien irrationnel.

En géométrie plane, ${\sqrt {N}}$ peut par exemple être construit à la règle et au compas via la suite de rectangles illustrée ci-contre^[1]^,^[2]^,^[3], ou via la spirale de Théodore^[4].

Irrationalité

Si un entier $N$ est le carré d'un nombre rationnel, alors ${\sqrt {N}}$ est un entier. Cette propriété peut aussi s'énoncer comme suit : la racine carrée d'un entier $N$ est un entier si $N$ est un carré parfait, et irrationnelle dans tous les autres cas.

On peut la déduire de la proposition 8 du livre VIII des Éléments d'Euclide^[5]. Des preuves usuelles font appel au lemme d'Euclide, au lemme de Gauss ou même au théorème fondamental de l'arithmétique^[6]. Mais d'autres n'utilisent que des connaissances arithmétiques minimales, comme celle de Richard Dedekind^[7] ou la suivante, essentiellement due à Theodor Estermann^[8]^,^[9] :

Soit

N

un entier naturel dont la racine carrée est un rationnel, que l'on écrit sous la forme

{\frac {a}{b}}

avec

b

le plus petit possible (c'est-à-dire que

b

est le plus petit entier strictement positif dont le produit par

{\sqrt {N}}

est entier), et soit

n

la partie entière de

{\sqrt {N}}

. Alors, l'entier

r=a-nb

vérifie :

0\leqslant r<b

et

r{\sqrt {N}}

est entier (car

r{\sqrt {N}}=bN-nb{\sqrt {N}}

et

b{\sqrt {N}}

est entier). Or

b

est le plus petit entier positif non nul tel que

b{\sqrt {N}}

soit entier : donc on doit avoir

r=0

et

{\sqrt {N}}=n

.

Une démonstration plus classique, mais qui se généralise aux racines n-ièmes d'un entier naturel^[10], et même aux entiers algébriques^[11], repose sur le lemme d'Euclide :

Supposons que

{\textstyle {\sqrt {N}}}

est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe

a

et

b

tels que

{\textstyle a^{2}=N\times b^{2}}

. Quitte à les diviser par leur pgcd,

a

et

b

peuvent être supposés premiers entre eux. Un diviseur premier de

b

diviserait

a^{2}

donc diviserait

a

d'après le lemme d'Euclide, donc

b=1

(tout nombre supérieur à 2 possède un diviseur premier) et

N

est un carré parfait^[12].

Développement dans une base

Si $N$ n'est pas un carré parfait, ${\sqrt {N}}$ est irrationnel et, par conséquent, son développement en base $b\geqslant 2$ est non périodique. Émile Borel a conjecturé en 1909 puis en 1950 que ce développement est normal, comme pour tout irrationnel algébrique^[13], à savoir que tout bloc de chiffres consécutifs (par exemple 010) apparaît avec la même fréquence limite que n'importe lequel des blocs de même longueur. À ce jour, on ne sait en fait même pas démontrer qu'un chiffre donné apparaît une infinité de fois dans le développement^[14].

Développements en fraction continue

Fraction continue simple

Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), le développement en fraction continue simple de ${\sqrt {N}}$ , avec $N$ non carré, est périodique. Et plus précisément, d'après le théorème de Legendre, ce développement a la forme : ${\sqrt {N}}=[a_{0},{\overline {a_{1},a_{2},a_{3}\cdots ,a_{p}}}]=[a_{0},{\overline {a_{1},a_{2},a_{3}\cdots ,a_{3},a_{2},a_{1},2a_{0}}}]$ : la période, de longueur $p$ , forme un palindrome de longueur $p-1$ suivi du double de la partie entière^[15]^,^[16]. Voici des exemples :


$N$	2	3	5	6	7	8	10
Développement de ${\sqrt {N}}$	${\sqrt {2}}=[1,{\overline {2}}]$	${\sqrt {3}}=[1,{\overline {1,2}}]$	${\sqrt {5}}=[2,{\overline {4}}]$	${\sqrt {6}}=[2,{\overline {2,4}}]$	${\sqrt {7}}=[2,{\overline {1,1,1,4}}]$	${\sqrt {8}}=[2,{\overline {1,4}}]$	${\sqrt {10}}=[3,{\overline {6}}]$
Page wikipedia	Racine de 2	Racine de 3	Racine de 5	Racine de 6	Racine de 7
Suite des numérateurs réduits des réduites	A001333	A002531	A001077	A041006	A041008	A041010	A005667
Suite des dénominateurs	A000129	A002530	A001076	A041007	A041009	A041011	A005668


$N$	11	12	13	19	29
Développement de ${\sqrt {N}}$	${\sqrt {11}}=[3,{\overline {3,6}}]$	${\sqrt {12}}=[3,{\overline {2,6}}]$	${\sqrt {13}}=[3,{\overline {1,1,1,1,6}}]$	${\sqrt {19}}=[4,{\overline {2,1,3,1,2,8}}]$	${\sqrt {29}}=[5,{\overline {2,1,1,2,10}}]$
Suite des numérateurs réduits des réduites	A041014	A041016	A041018	A041028	A041046
Suite des dénominateurs	A041015	A041017	A041019	A041029	A041047

La liste des développements en fraction continue des racines carrées des nombres de 2 à 165 est donnée dans (Guinot 1996, p. 101). La liste des longueurs des périodes de ces développements est la suite A003285 de l'OEIS.

La suite des réduites, définie par $u_{n}=[a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}]$ est une suite récurrente homographique définie par $u_{k}=[a_{0},\cdots ,a_{k}]$ pour $0\leqslant k\leqslant p-1$ et $u_{n+p}=[a_{0},a_{1},a_{2},\cdots a_{p-1},a_{0}+u_{n}]$ .

Écrivant la réduite $u_{n}$ de ${\sqrt {N}}$ sous forme irréductible ${\frac {h_{n}}{k_{n}}}$ , les entiers $h_{pn-1}{\text{ et }}k_{pn-1}$ sont définis par $h_{pn-1}+k_{pn-1}{\sqrt {N}}=(h_{p-1}+k_{p-1}{\sqrt {N}})^{n}$ ^[17]. De plus, si $p$ est impair, $h_{pn-1}^{2}-Nk_{pn-1}^{2}=(-1)^{n}$ et si $p$ est pair, $h_{pn-1}^{2}-Nk_{pn-1}^{2}=1$ ^[17], voir l'article sur l'équation de Pell-Fermat.

Cas particuliers :

la période est de longueur 1 pour $N=a^{2}+1$ : ${\sqrt {a^{2}+1}}=[a,{\overline {2a}}]$ ; les réduites sont définies par $u_{0}=a,u_{n+1}=a+{\frac {1}{a+u_{n}}}={\frac {au_{n}+a^{2}+1}{u_{n}+a}}$ et $h_{n}+k_{n}{\sqrt {N}}=(a+{\sqrt {N}})^{n+1}$ ;
la période est de longueur 2 pour $N=a^{2}+{\frac {2a}{b}}$ , $b$ diviseur strict de $2a$ : ${\sqrt {a^{2}+{\frac {2a}{b}}}}=[a,{\overline {b,2a}}]$ .

Les entiers $N$ tels que la période du développement de ${\sqrt {N}}$ est de longueur 1 ou 2 sont : 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 15, 17, 18, 20,..., cf. la suite A320773 de l'OEIS.

Fraction continue généralisée

La méthode de Bombelli utilisant pour $a>0$ la relation ${\sqrt {N}}=a+{\frac {N-a^{2}}{a+{\sqrt {N}}}}$ permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée suivant : ${\sqrt {N}}=\ a+{\frac {N-a^{2}}{2a+{\frac {N-a^{2}}{2a+{\frac {N-a^{2}}{2a+\ddots }}}}}}=a+{\frac {N-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+{\frac {N-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+\cdots$ .

Les réduites forment la suite $(v_{n})$ définie par $v_{0}=a,v_{n+1}=a+{\frac {N-a^{2}}{a+v_{n}}}={\frac {N+av_{n}}{a+v_{n}}}$ ^[18].

Si $N=a^{2}+1$ , ce développement donne le développement en fraction continue simple : ${\sqrt {a^{2}+1}}=\ a+{\frac {1}{2a+{\frac {1}{2a+\ddots }}}}=[a,{\overline {2a}}]$ .

Méthode de Héron

Par la méthode de Héron, $\sqrt N$ est la limite de la suite définie par $x 0 = a > 0$ et $x n +1 = 1 / 2 (x n + N / x n)$ qui a une vitesse de convergence quadratique (le nombre de chiffres exacts est à peu près doublé à chaque itération).

Propriétés

La suite $(x_{n})$ est une sous-suite de la suite $(v_{n})$ des réduites du développement de Bombelli ci-dessus initialisée au même réel $a$ . Précisément : $x_{n}=v_{2^{n}-1}$ ^[18].

Démonstration

On a $v_{n}=f(v_{n-1})$ avec $f(x)={\frac {N+ax}{a+x}}$ et $x_{n}=g(x_{n-1})$ avec $g(x)={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {N}{x}}\right)$ ; or il se trouve que $f^{2}\circ g=g\circ f$ ; montrons alors que $v_{2n-1}=g(v_{n-1})$ .

Pour $n=1$ , on a bien $v_{1}=f(a)={\frac {N+a^{2}}{2a}}=g(a)=g(v_{0})$ , et si $v_{2n-1}=g(v_{n-1})$ , alors $v_{2n+1}=f^{2}(v_{2n-1})=f^{2}(g(v_{n-1}))=g(f(v_{n-1})=g(v_{n})$ , ce qui montre par récurrence $v_{2n-1}=g(v_{n-1})$ .

On écrit alors $v_{2^{n}-1}=g(v_{2^{n-1}-1})=\cdots =g^{k}(v_{2^{n-k}-1})=\cdots =g^{n}(v_{0})=g^{n}(a)=x_{n}$ .

La suite $(x_{n})$ initialisée à $x_{0}=u_{p-1}=[a_{0},a_{1},\cdots ,a_{p-1}]$ est une sous-suite de la suite $(u_{n})$ des réduites du développement en fraction continue simple. Précisément, $x_{n}=u_{(p\cdot 2^{n}-1)}$ ^[17].

Méthode de Halley

La méthode de Halley fournit une suite qui croit encore plus rapidement vers $\sqrt N$ (convergence cubique), définie par : $\ y_{0}=a,\ y_{n+1}={\frac {y_{n}(y_{n}^{2}+3N)}{3y_{n}^{2}+N}}$ .

La suite $(y_{n})$ est une sous-suite de la suite $(v_{n})$ des réduites du développement de Bombelli ci-dessus initialisée au même réel $a$ . Plus précisément : $\ y_{n}=v_{(3^{n}-1)}$ .

La démonstration est similaire à celle de la propriété concernant la suite de Héron avec cette fois la fonction $h$ définie par $h(x)={\frac {x(x^{2}+3N)}{3x^{2}+N}}$ qui vérifie $f^{3}\circ h=h\circ f$ .

Notes et références

Notes

↑ On peut noter que dans le corps des nombres réels, un entier naturel $N$ non nul est le carré de deux réels opposés. Celui des deux qui est positif est noté ${\sqrt {N}}$ , et c'est lui que l'on appelle la racine carrée de $N$ – l'autre est son opposé, $-{\sqrt {N}}$ (négatif). Tous deux peuvent être appelés racines carrées de $N$ mais ce n'est pas usuel parce qu'il n'y a une façon standard (pour ne pas dire canonique) d'en choisir un – celui qui est positif.

Références

↑ Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, Whitefish, MT, Kessinger Publishing, 1920, 192 p. (ISBN 0-7661-7679-7, lire en ligne), p. 19-29 :
« Dynamic Symmetry root rectangles. »
↑ Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life, Courier Dover Publications, 1977, 206 p. (ISBN 9780486235424, lire en ligne ), p. 126-128].
↑ Rachel Fletcher, Infinite Measure: Learning to Design in Geometric Harmony with Art, Architecture, and Nature, George F Thompson Publishing, 2013 (ISBN 978-1-938086-02-1, lire en ligne).
↑ Plus précisément, ces deux méthodes de construction géométrique permettent, à partir d'un segment de longueur arbitraire $u$ , de construire des segments dont la longueur est, d'après le théorème de Pythagore : $l(N)={\sqrt {N}}\times u$ .
↑ (en) Euclid's Elements, Book VIII, Proposition 8, par David E. Joyce.
↑ Jérôme von Buhren, « L'irrationalité d’une racine carrée et d'un quotient de logarithmes ».
↑ (en) « Square root of 2 is irrational », sur Cut The Knot.
↑ (en) Attila Máté, « Irrationality of square roots », sur Brooklyn College.
↑ (en) Harley Flanders, « Math bite: irrationality of $\sqrt m$ », Math. Mag., vol. 72,‎ 1999, p. 235 (lire en ligne).
↑ Guinot (1992), p. 95.
↑ Guinot (1992), p. 95-96.
↑ Guinot (1992), p. 94.
↑ (en) Davar Khoshnevisan, « Normal numbers are normal », CMI Annual Report,‎ 2006, p. 15, 27-31 (lire en ligne).
↑ Jean-Paul Delahaye, Nombre pi : malgré les progrès des sciences, il reste une énigme, Le Monde / Belin, 2024, p. 52-55.
↑ Guinot (1996), p. 101.
↑ Jean Trignan, Introduction aux problèmes d'approximation : fractions continues, différences finies, Éditions du Choix, 1994 (ISBN 978-2-909028-16-3), p. 58.
1 2 3 Jaboeuf (1985), p. 24-28.
1 2 Florence Gabarra et Cécile Julaud-Goisnard, « Comparaison des suites de Héron et de Bombelli », sur IREM de Paris.