Racine carrée de cinq

La méthode de Bombelli utilisant pour ${\displaystyle a>0}$ la relation ${\displaystyle {\sqrt {5}}=a+{\frac {5-a^{2}}{a+{\sqrt {5}}}}}$ permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée suivant^[1] : ${\displaystyle {\sqrt {5}}=\ a+{\frac {5-a^{2}}{2a+{\frac {5-a^{2}}{2a+{\frac {5-a^{2}}{2a+\ldots }}}}}}=a+{\frac {5-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+{\frac {5-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+\cdots }$

Prenant ${\displaystyle a=2}$, on obtient :

${\displaystyle {\sqrt {5}}=\ 2+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+{\frac {1}{4+\ldots }}}}}}}}=3+{\frac {1\mid }{\mid 4}}+{\frac {1\mid }{\mid 4}}+\cdots =[2\,;{\overline {4}}]}$^[2],

qui est le développement en fraction continue simple de √5 ^[3].

Ce développement est périodique (période de longueur 1) comme pour tout irrationnel quadratique (irrationnel solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), et le théorème de Legendre est bien vérifié.

Les huit premières réduites en sont : $${\displaystyle u_{0}={\frac {2}{1}},u_{1}={\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},u_{3}={\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}},{\frac {12238}{5473}},u_{7}={\frac {51841}{23184}},\dots }$$

Comme pour toute fraction continue d’un nombre irrationnel, elles constituent les meilleures approximations rationnelles de √5.

Elles forment la suite ${\displaystyle (u_{n})}$, récurrente homographique, définie par : ${\displaystyle u_{0}=2,u_{n+1}=2+{\frac {1}{4+u_{n}-2}}={\frac {2u_{n}+5}{u_{n}+2}}}$.

Les deux sous-suites ${\displaystyle (u_{2n}){\text{ et }}(u_{2n+1})}$ sont adjacentes de limite ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ et l'on a ${\displaystyle u_{2n}<{\sqrt {5}}<u_{2n+1}}$.

Le rationnel ${\displaystyle u_{n}}$ est égal à ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ où ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ sont les entiers définis par ${\displaystyle (2+{\sqrt {5}})^{n+1}=a_{n}+b_{n}{\sqrt {5}}}$ ; les suites, ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}$ sont définies par ${\displaystyle a_{0}=2,b_{0}=1,{\begin{cases}a_{n+1}=2a_{n}+5b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+2b_{n}\end{cases}}}$^[2].

Les ${\displaystyle a_{n}}$ sont successivement : 2, 9, 38, 161, 682, 2889, 12238, 51841, 219602, … (suite A001077 de l'OEIS),

et les ${\displaystyle b_{n}}$ : , 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, … (suite A001076 de l'OEIS) .

On en déduit l'expression explicite^[2] :

• ${\displaystyle u_{n}={\sqrt {5}}{\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}+(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}{(2+{\sqrt {5}})^{n+1}-(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}}={\frac {\left\lfloor (2+{\sqrt {5}})^{n+1}\right\rceil }{\left\lfloor {\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }}}$, où ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rceil }$ est l'entier le plus proche de ${\displaystyle x}$..

Comme ${\displaystyle a_{n}^{2}-5b_{n}^{2}=(-1)^{n+1}}$, les ${\displaystyle (a_{n},b_{n})}$ fournissent alternativement des solutions aux équations de Pell-Fermat ^[4] :

${\displaystyle x^{2}-5y^{2}=-1\quad \mathrm {et} \quad x^{2}-5y^{2}=1}$.

En utilisant la série génératrice des coefficients binomiaux centraux, on a :

${\displaystyle {\sqrt {5}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{5^{n}}}}$

• ${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}=2\varphi =2{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$ ; voir à Radical_imbriqué#Racine_carrée,
• ${\displaystyle {\sqrt {5}}={\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5\dots }}}}}}}$ car ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{2}}}$.

Comme √2 et √3, la racine carrée de 5 est présente dans les formules pour les constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}\right),}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }=\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}}),}$

${\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}.}$

La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :

${\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi }\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right){\rm {e}}^{2\pi /5}={\rm {e}}^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$

${\displaystyle {\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right){\rm {e}}^{2\pi /{\sqrt {5}}}.}$

${\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {x{\rm {e}}^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,{\rm {d}}x={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+\cdots .}$

• Suite de Fibonacci
• Nombre de Lucas
• Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)
• Somme quadratique de Gauss
• Pavage en moulin à vent
• Anneau des entiers de Q(√5)
• Racine carrée d'un entier naturel
• Racine carrée de deux
• Racine carrée de trois
• Racine carrée de six
• Racine carrée de sept
• Racine carrée de dix