Racine carrée de six

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Les soixante premiers chiffres du développement décimal de √6 sont :

2,44948974278317809819728407470589139196594748065667012843269.... , voir la suite A010464 de l'OEIS.

√6 peut être arrondi à 2,45 avec une précision d'environ 99,98 % (différant de la valeur correcte d'environ1/2 000). Il faut deux décimales supplémentaires (2,4495) pour réduire l’erreur d’environ moitié. L'approximation 218/89 (≈ 2,449438...) est presque dix fois meilleure : bien qu'elle ait un dénominateur égal seulement à 89, elle diffère de la valeur correcte de moins de 1/20 000.

La NASA a publié plus d'un million de chiffres décimaux de la racine carrée de six^[1].

La méthode de Bombelli utilisant pour ${\displaystyle a>0}$ la relation ${\displaystyle {\sqrt {6}}=a+{\frac {6-a^{2}}{a+{\sqrt {6}}}}}$ permet d'obtenir le développement en fraction continue généralisée suivant : ${\displaystyle {\sqrt {6}}=\ a+{\frac {6-a^{2}}{2a+{\frac {6-a^{2}}{2a+{\frac {6-a^{2}}{2a+\ldots }}}}}}=1+{\frac {6-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+{\frac {6-a^{2}\mid }{\mid 2a}}+\cdots }$

Prenant ${\displaystyle a=2}$, on obtient :

${\displaystyle {\sqrt {6}}=\ 2+{\frac {2}{4+{\frac {2}{4+{\frac {2}{4+{\frac {2}{4+\ldots }}}}}}}}=1+{\frac {2\mid }{\mid 4}}+{\frac {2\mid }{\mid 4}}+\cdots }$^[2].

En simplifiant par 2 un étage sur deux on obtient le développement en fraction continue simple de √6 ^[3] :

${\displaystyle {\sqrt {6}}=[2,{\overline {2,4}}]=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}.}$ voir la suite A040003 de l'OEIS.

Ce développement est périodique (période de longueur 2) comme pour tout irrationnel quadratique (irrationnel solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), et le théorème de Legendre est bien vérifié.

Les huit premières réduites communes à ces deux développements sont :${\displaystyle u_{0}={\frac {2}{1}},u_{1}={\frac {5}{2}},{\frac {22}{9}},u_{3}={\frac {49}{20}},{\frac {218}{89}},{\frac {485}{198}},{\frac {2158}{881}},u_{7}={\frac {4801}{1960}}}$.

Comme pour toute fraction continue d’un nombre irrationnel, elles constituent les meilleures approximations de √6 .

Elles forment la suite ${\displaystyle (u_{n})}$, récurrente homographique, définie par : ${\displaystyle \ u_{0}=2,\ u_{n+1}=2+{\frac {2}{2+u_{n}}}={\frac {2u_{n}+6}{u_{n}+2}}}$.

Les deux sous-suites ${\displaystyle (u_{2n}){\text{ et }}(u_{2n+1})}$ sont adjacentes de limite ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$ et l'on a ${\displaystyle u_{2n}<{\sqrt {6}}<u_{2n+1}}$.

Le rationnel ${\displaystyle u_{n}}$ est égal à ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ où ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ sont les entiers définis par ${\displaystyle (2+{\sqrt {6}})^{n+1}=a_{n}+b_{n}{\sqrt {6}}}$ ; les suites, ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}$ sont définies par ${\displaystyle a_{0}=2,b_{0}=1,{\begin{cases}a_{n+1}=2a_{n}+6b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+2b_{n}\end{cases}}}$^[2].

On en déduit l'expression explicite^[2] :

• ${\displaystyle \forall \ n\geqslant 0,\ u_{n}={\sqrt {6}}{\frac {(2+{\sqrt {6}})^{n+1}+(2-{\sqrt {6}})^{n+1}}{(2+{\sqrt {6}})^{n+1}-(2-{\sqrt {6}})^{n+1}}}}$

Les numérateurs réduits des ${\displaystyle u_{n}}$ sont successivement égaux à 2, 5, 22, 49, 218, 485, 2158, 4801, 21362, 47525, 211462, … (suite A041006 de l'OEIS) , soit ${\displaystyle a'_{n}={\frac {a_{n}}{2^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }}}}$,

et leurs dénominateurs réduits 1, 2, 9, 20, 89, 198, 881, 1960, 8721, 19402, 86329, … (suite A041007 de l'OEIS) , soit ${\displaystyle b'_{n}={\frac {b_{n}}{2^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }}}}$^[4].

Comme ${\displaystyle a_{n}^{2}-6b_{n}^{2}=(-2)^{n+1}}$. Les ${\displaystyle (a'_{n},b'_{n})}$ fournissent alternativement des solutions aux équations de Pell-Fermat ^[5]:

${\displaystyle x^{2}-6y^{2}=-2\quad \mathrm {and} \quad x^{2}-6y^{2}=1}$.

La méthode de Bombelli pour ${\displaystyle a=3}$ conduit cette fois à la fraction continue généralisée : ${\displaystyle {\sqrt {6}}=\ 3-{\frac {3}{6-{\frac {3}{6-{\frac {3}{6-{\frac {3}{6-\ddots }}}}}}}}}$ qui se simplifie en ${\displaystyle {\sqrt {6}}=\ 3-{\frac {1}{2-{\frac {1}{6-{\frac {1}{2-{\frac {1}{6-\ddots }}}}}}}}=[3,{\overline {-2,6}}]}$.

Par la méthode de héron, √6 est la limite de la suite définie par x₀ = a > 0 et x_n+1 = 1/2(x_n + 6/x_n) qui converge quadratiquement (nombre de décimales exactes doublant approximativement à chaque pas).

On obtient pour ${\displaystyle a=2}$ :

${\displaystyle x_{0}=2,\quad x_{1}={\frac {5}{2}}=2,5,\quad x_{2}={\frac {49}{20}}=2,45,\quad x_{3}={\frac {4801}{1960}}=2,449489796...,\quad x_{4}={\frac {46099201}{18819920}}=2,449489742783179...,\quad \dots }$

Les numérateurs de cette suite forment la suite A244014 de l'OEIS, et ses dénominateurs la suite A244015 de l'OEIS.

La suite ${\displaystyle (x_{n})}$ est une sous-suite de la suite ${\displaystyle (u_{n})}$ des réduites de la fraction continue de √6. Plus précisément : ${\displaystyle x_{n}=u_{(2^{n}-1)}}$^[2],[6].

La méthode de Halley, utilisant la relation de récurrence :$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}{\frac {{y_{n}}^{2}+18}{3{y_{n}}^{2}+6}}\,,}$$triple approximativement le nombre de décimales exactes à chaque pas.

On obtient pour ${\displaystyle y_{0}=2}$ :

${\displaystyle \quad y_{1}={\frac {22}{9}}=u_{2}=2,44...,\quad y_{2}={\frac {21362}{8721}}=u_{8}=2,4494897...,\quad \dots }$

La suite ${\displaystyle (y_{n})}$ est une sous-suite de la suite ${\displaystyle (u_{n})}$. Plus précisément : ${\displaystyle y_{n}=u_{(3^{n}-1)}}$.

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En géométrie plane, la racine carrée de 6 peut être construite via une suite de rectangles dynamiques, comme illustré à droite ^[7],[8],[9]..

En géométrie dans l'espace, la racine carrée de 6 apparaît comme la plus grande distance entre les sommets du double cube, comme illustré à gauche. Les racines carrées de tous les entiers naturels inférieurs apparaissent comme les distances entre les autres paires de sommets du double cube (y compris les sommets des deux cubes inclus)^[9].

La longueur du côté d'un cube dont la surface extérieure est égale à 1 vaut ${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{6}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}}$. Les longueurs des arêtes d'un tétraèdre régulier (t), d'un octaèdre régulier (o) et d'un cube (c) de surfaces totales égales satisfont ${\displaystyle {\frac {t\cdot o}{c^{2}}}={\sqrt {6}}}$^[10].

La longueur de l'arête d'un octaèdre régulier est égale à la racine carrée de 6 fois le rayon de la sphère inscrite (c'est-à-dire la distance entre le centre du solide et le centre de chaque face)^[11].

La racine carrée de 6 apparaît dans divers autres contextes géométriques, comme la longueur du côté ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{2}}}$du carré circonscrit à un triangle équilatéral de côté 2 (voir figure à gauche).

La racine carrée de 6, conjointement avec la racine carrée de 2 ajoutée ou soustraite, apparaît dans plusieurs valeurs trigonométriques exactes pour des angles multiples de 15 degrés (π/12 radians)^[12] :

radians	degrés	sin	cos
${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$