Relation d'Euler dans le quadrilatère

Dans un quadrilatère plan ${\displaystyle ABCD}$ de côtés de longueurs ${\displaystyle AB=a,BC=b,CD=c,DA=d}$, de diagonales de longueurs ${\displaystyle AC=e}$ et ${\displaystyle BD=f}$, ${\displaystyle g=MN}$ étant la distance entre les milieux des deux diagonales, la relation d'Euler s'écrit :

On peut démontrer cette relation en utilisant la relation d'Al Kashi dans des triangles formés par les côtés et les diagonales de parallélogrammes auxiliaires^[2].

Le quadrilatère étant un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu, autrement dit si et seulement si ${\displaystyle g=0}$, on obtient le fait qu'un quadrilatère convexe est un parallélogramme si et seulement si la somme des carrés des longueurs de ses côtés est égale à la somme des carrés des longueurs de ses diagonales, ce qui généralise la règle du parallélogramme.

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La relation ci-dessus est en fait valable pour tout quadruplet ${\displaystyle (A,B,C,D)}$ de points d'un espace affine euclidien, donc éventuellement non coplanaires, en l'écrivant sous la forme :

où ${\displaystyle M{\text{ et }}N}$ sont les milieux de ${\displaystyle [AC]}$ et ${\displaystyle [BD]}$.

Si l'on pose ${\displaystyle x={\overrightarrow {AB}},y={\overrightarrow {BC}},z={\overrightarrow {CD}}}$, alors ${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}=x+y+z}$ et ${\displaystyle 2{\overrightarrow {MN}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OD}}-({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OC}})={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CD}}=x+z}$ ; la relation d'Euler s'écrit donc :

ce qui se montre facilement en développant ces carrés scalaires.

Ceci montre que pour le parallélépipède construit sur les vecteurs ${\displaystyle x,y,z}$, la somme des carrés des longueurs des 12 arêtes ( ${\displaystyle =4(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$) est égale à la somme des carrés des longueurs des 12 diagonales de faces (${\displaystyle =4((x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2})}$ diminuée de la somme des carrés des longueurs des 4 grandes diagonales (${\displaystyle =4(x+y+z)^{2}}$).

La relation d'Euler s'écrit donc pour trois vecteurs ${\displaystyle x,y,z}$ d'un espace vectoriel euclidien :

${\displaystyle \lVert x\rVert ^{2}+\lVert y\rVert ^{2}+\lVert z\rVert ^{2}+\lVert x+y+z\rVert ^{2}=\lVert x+y\rVert ^{2}+\lVert y+z\rVert ^{2}+\lVert z+x\rVert ^{2}}$.

Maurice Fréchet a démontré que cette relation caractérise les normes euclidiennes (i.e. qui proviennent d'un produit scalaire)^[3],[4].