Représentation P
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En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?En mécanique quantique et dans un espace à une dimension, la représentation P ou réalisation-P est la représentation dans laquelle l'opérateur d'impulsion appliqué au vecteur propre de cette représentation s'écrit :
Comme l'opérateur est hermitien, on peut montrer pour un vecteur d'état que :
Dans cette représentation, l'opérateur de position dans l'espace à une dimension est tel que :
Ce qui se réécrit de façon allégée dans la littérature :
Il faut distinguer cette représentation de la représentation X dans laquelle l'opérateur de position s'écrit simplement .
Le commutateur de et est défini par :
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78dffe18faa5055dad79e9a53dce828ecd30d2c)
On peut calculer sa valeur en l'appliquant à un vecteur d'état :
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle ={\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle -\mathbf {{\hat {p}}_{x}} {\hat {\mathbf {x} }}\left|\psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f284a774f48eed3593ae27c86a39edb2ce179d6d)
En réalisation P, cela s'écrit :
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}(p_{x}\left|\psi \right\rangle )-i\hbar p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c8882f6962665d309841da22056255a3cd1a1)
La dérivée d'un produit étant , cela donne :
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (({\frac {\partial }{\partial p_{x}}}p_{x})\left|\psi \right\rangle +p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle -p_{x}{\frac {\partial }{\partial p_{x}}}\left|\psi \right\rangle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1637ddf836aaa404e394ffc215a42671274f5165)
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]\left|\psi \right\rangle =i\hbar (1)\left|\psi \right\rangle =i\hbar \left|\psi \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531413c770617f0acfc2c1ef6ea8e32f94ced21e)
La valeur du commutateur de et est donc :
![{\displaystyle [{\hat {\mathbf {x} }},\mathbf {{\hat {p}}_{x}} ]=i\hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e929428d86707f885a6e75007aaedd35cd69e6c4)
Cette valeur, indépendante de la base, est liée au principe d'incertitude de Heisenberg.
