Retenue (arithmétique)
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En arithmétique élémentaire, une retenue est un chiffre qui est transféré d’une colonne de chiffres à une autre colonne de chiffres plus significatifs. Il fait partie de l’algorithme standard qui consiste à additionner les nombres en commençant par les chiffres les plus à droite et en progressant vers la gauche. Par exemple, lorsque 6 et 7 sont ajoutés pour faire 13, le « 3 » est écrit dans la même colonne et le « 1 » est transféré en retenue dans la colonne immédiatement à gauche. Lorsqu’elle est utilisée en soustraction, l’opération est appelée emprunt.
La retenue fait aussi quelques apparitions en mathématiques supérieures. En informatique, la retenue est une fonction importante des circuits additionneurs.
Un exemple typique de retenue est l'addition suivante avec papier et crayon :
1 27 + 59 ---- 86
7 + 9 = 16, et le chiffre 1 est la retenue.
Lors d'une soustraction, l'opposé est un emprunt, comme dans
−1 47 − 19 ---- 28
Ici, 7 − 9 = −2, on pose (10 − 9) + 7 = 8 et le 10 est obtenu en retirant ("empruntant") 1 du chiffre suivant à gauche. Il existe deux façons courantes d'enseigner cette technique :
- Le dix est déplacé depuis le chiffre suivant à gauche, laissant dans cet exemple 3 − 1 dans la colonne des dizaines. Avec cette méthode, le terme "emprunt" est un terme abusif, car le dix n'est jamais "remboursé".
- Le dix est copié depuis le chiffre suivant à gauche, puis 'remboursé' en l'ajoutant au nombre à soustraire de la colonne d'où il a été 'emprunté', laissant dans cet exemple 4 − (1 + 1) dans la colonne des dizaines.
Mathématiques supérieures
Le théorème de Kummer stipule que le nombre de retenues impliquées dans l'addition de deux nombres en base est égal à l'exposant de la puissance la plus élevée de divisant un coefficient binomial donné.
Lorsque plusieurs nombres aléatoires à grand nombre de chiffres sont ajoutés, la statistique des chiffres de retenue présente un lien inattendu avec les nombres eulériens et les statistiques de permutation (p, q)-shuffle[1],[2],[3],[4].
En algèbre générale, l'opération de retenue pour des nombres à deux chiffres peut être formalisée en utilisant le langage d'homologie des groupes[5],[6],[7]. Ce point de vue peut être appliqué à des caractérisations alternatives des nombres réels[8],[9].
