Rosace (mathématiques)

Une rosace dont l'équation polaire est de la forme

${\displaystyle r=a\cos(k\theta )}$

où k est un entier positif, a une aire égale à

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,{\rm {d}}\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}$

si k est pair et

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,{\rm {d}}\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}$

si k est impair.

Le même principe s'applique aux rosaces d'équation polaire de la forme :

${\displaystyle r=a\sin(k\theta )}$

puisque leurs graphes ne sont que des images par rotation des rosaces définies en utilisant le cosinus.

• Courbe de Lissajous
• Quadrifolium - une rosace avec k = 2.
• Rosace (topologie) (en)
• Les inverses des rosaces : les épis.

• (en) Eric W. Weisstein, « Rose », sur MathWorld
• Rosaces sur Mathcurve

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