Épi (courbe)

Par la suite, on appellera (d_α) la droite passant par O et faisant avec l'axe polaire un angle α. La courbe d'équation polaire ${\displaystyle \rho ={\frac {a}{\sin(w\theta )}}}$ possède plusieurs branches toutes images par rotation de centre O d'une branche principale correspondant à θ compris entre 0 et π/ω.

En effet la portion de courbe correspondant à θ compris entre - π/ω et 0 est l'image de la branche principale par symétrie d'axe ${\displaystyle (d_{\frac {\pi }{2}})}$. La branche principale possède d'autre part un axe de symétrie ${\displaystyle (d_{\frac {\pi }{2\omega }})}$. La seconde branche est donc l'image de la branche principale par la composée de ces deux symétries, c'est-à-dire par une rotation d'angle ${\displaystyle {\frac {\pi }{\omega }}-\pi }$.

Les autres branches de l'épi sont alors images de la branche principale par une rotation d'angle ${\displaystyle k\left({\frac {\pi }{\omega }}-\pi \right)}$ où k est un entier^[2].

La branche principale possède deux asymptotes symétriques par rapport à la droite ${\displaystyle (d_{\frac {\pi }{2\omega }})}$ dont une , d'équation polaire ${\displaystyle \rho ={\frac {a}{w\sin \theta }}}$, est parallèle à l'axe polaire et à une distance a/ω de celui-ci.. Les deux asymptotes font entre elles un angle^[3] de π/ω et se coupe sur l'axe ${\displaystyle (d_{\frac {\pi }{2\omega }})}$ en un point de coordonnées polaires ${\displaystyle \left({\frac {a}{w\sin(\pi /2\omega )}};\pi /2\omega \right)}$. Le point de la branche le plus proche de l'origine est situé sur l'axe de symétrie et sur le cercle de rayon a.

Le nombre de branches de l'épi est infini si ω est irrationnel. La courbe est alors transcendante. Si ω est rationnel , le nombre de branches est fini et la courbe est algébrique^[3] . Si ω = n/d avec n et d premiers entre eux, le nombre de branches différentes est de n si n et d sont impairs, il est de 2n si n ou d est pair.

Exemples d'épis pour certaines valeurs de ω=n/d rationnel

d=1
d=2
d=3
d=4

La tangente au point de coordonnées polaires ${\displaystyle (\rho _{0};\theta _{0})}$ a pour équation ^[3] : ${\displaystyle {\frac {a}{\rho }}=\sin(\omega \theta _{0})\cos(\theta -\theta _{0})-\omega \cos(\omega \theta _{0})\sin(\theta -\theta _{0})}$.

Le rayon de courbure en ce point est^[3]: ${\displaystyle R=\rho _{0}{\frac {(1+\omega ^{2}\tan ^{2}\omega \theta _{0})^{\frac {3}{2}}}{1-\omega ^{2}}}}$

L'abscisse curviligne est donnée par ^[3]: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {a}{\sin ^{2}\omega \theta }}{\sqrt {\omega ^{2}\cos ^{2}\omega \theta +\sin ^{2}\omega \theta }}}$ et la rectification de la courbe fait intervenir des intégrales elliptiques de première et deuxième espèce.