Règle de Cauchy
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En mathématiques, la règle de Cauchy, qui doit son nom au mathématicien français Augustin Cauchy, est un critère de convergence pour une série à termes réels ou complexes, ou plus généralement à termes dans un espace vectoriel normé.
Cette règle est parfois confondue avec le « critère de Cauchy » selon lequel, dans un espace complet comme ℝ ou ℂ, toute suite de Cauchy converge.
La règle de Cauchy[1] donne un critère de convergence pour une série de terme général xn dans un espace vectoriel normé, en fonction de la limite supérieure[2]
![{\displaystyle p=\limsup _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{\left\|x_{n}\right\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b933b62bde5b0d169d9f335cd1d92d2daeaa989)
La série est :
- absolument convergente si p < 1, donc convergente si l'espace est de Banach c'est-à-dire complet ;
- grossièrement divergente si p > 1, c'est-à-dire que la suite (xn) ne tend même pas vers 0.
Si p = 1, il y a indécidabilité à défaut d'informations supplémentaires.
La règle s'applique en particulier pour des séries dans ℝ (où la norme est la valeur absolue) ou dans ℂ (où la norme est le module) ou même dans ℝn ou ℂn, complets pour n'importe quelle norme.
Cas p = 1
La série harmonique qui diverge et la série harmonique alternée qui converge vers ln(2) sont deux exemples pour lesquels la limite des ║xn║1/n — et pas seulement la limite supérieure — vaut 1, car (1/n)ln(1/n) tend vers 0.
On montre encore que les réciproques des deux premières propriétés sont fausses :
- la série de Dirichlet de terme général xn = n−2 est absolument convergente vers ζ(2) alors que pour elle, la limite vaut 1 ;
- la série de terme général xn = (–1)n diverge grossièrement alors que pour elle, la limite vaut aussi 1.
![{\displaystyle \liminf {\tfrac {\|x_{n+1}\|}{\|x_{n}\|}}\leq \limsup {\sqrt[{n}]{\|x_{n}\|}}\leq \limsup {\tfrac {\|x_{n+1}\|}{\|x_{n}\|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa64b8aedf4a31ed16e925c2b208b81446ad115b)
