Test de condensation de Cauchy

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Pour tout réel positif α,

• la série de Riemann${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{\alpha }}}}$a même comportement que sa « série condensée »${\displaystyle \sum _{k\geq 0}2^{k}{\frac {1}{(2^{k})^{\alpha }}}=\sum _{k\geq 0}(2^{1-\alpha })^{k}.}$Cette dernière est une série géométrique, qui converge si et seulement si α > 1.
  Pour α = 1, c'est la preuve par Oresme de la divergence de la série harmonique ;
• la série de Bertrand${\displaystyle \sum _{n\geq 2}{1 \over n\,(\ln n)^{\alpha }}}$converge si et seulement si sa « condensée »${\displaystyle \sum _{k\geq 1}{2^{k} \over 2^{k}\,(\ln(2^{k}))^{\alpha }}=\sum _{k\geq 1}{1 \over (k\ln 2)^{\alpha }}}$converge, c'est-à-dire (d'après l'étude de la série de Riemann) si α > 1 ;
• il en est de même pour la série${\displaystyle \sum _{n\geq 3}{1 \over n\,\ln n\,(\ln \ln n)^{\alpha }},}$etc^[3].

On peut remplacer les puissances de 2 par celles de n'importe quel entier strictement supérieur à 1^[3]. Plus généralement, Jan Cornelis Kluyver (de)^[4] a montré en 1909^[5] que pour toute suite réelle positive décroissante (a_n), les séries

${\displaystyle \sum a_{n},\quad \sum (n_{k+1}-n_{k})a_{n_{k}},\quad \sum (n_{k}-n_{k-1})a_{n_{k}}\quad {\rm {et}}\quad \sum N_{k}a_{n_{k}}}$

sont simultanément convergentes ou divergentes, pour toutes suites d'entiers positifs (n_k) et (N_k) telles que (n_k) soit strictement croissante et ((n_k+1 – n_k)/N_k) et (N_k+1/N_k) soient bornées. (Schlömilch avait établi^[6] le cas particulier n_k = k², N_k = k.)