Résistance de Kapitza

Dans la description cinétique donnée par l'équation de Boltzmann-Peierls la densité de flux de chaleur ${\displaystyle \textstyle q_{1,2}}$ entre les milieux 1 de température ${\displaystyle \textstyle T_{1}}$ et 2 de température ${\displaystyle \textstyle T_{2}}$ est donnée par :

${\displaystyle q_{1,2}=\sum _{k}f(k,T_{1})E(k)\,c\,\alpha _{1,2}(k,T_{1},T_{2})}$

où ${\displaystyle \textstyle f}$ est le nombre de phonons de nombre d'onde k, ${\displaystyle \textstyle E=\hbar \omega _{k}}$ leur énergie et c la vitesse de groupe assimilée à la vitesse du son. ${\displaystyle \textstyle \alpha _{1,2}}$ est la probabilité de passage de 1 vers 2.

${\displaystyle \textstyle q_{2,1}}$ s'exprime de façon identique et la densité de flux de chaleur résultante est ${\displaystyle \textstyle q=q_{1,2}-q_{2,1}}$, la conductance ${\displaystyle \textstyle G={\frac {q}{T_{2}-T_{1}}}}$.

Il existe une relation entre les probabilités de passage liée à la microréversibilité. Un matériau à l'équilibre thermodynamique a une population de phonons donnée par la statistique de Bose-Einstein. Il émet une densité de flux égale à ${\displaystyle \textstyle \sigma T^{4}}$ où ${\displaystyle \textstyle \sigma ={\frac {3\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15h^{3}c^{2}}}}$ est l'équivalent de la constante de Stefan-Boltzmann et la quantité ${\displaystyle \textstyle \alpha \sigma T^{4}}$ traverse l'interface. La densité de flux totale est donc ${\displaystyle \textstyle q=\alpha _{12}\sigma _{1}T_{1}^{4}-\alpha _{21}\sigma _{2}T_{2}^{4}}$. La réversibilité impose ${\displaystyle \textstyle q=0}$ pour ${\displaystyle \textstyle T_{1}=T_{2}}$ d'où la relation entre coefficients :

${\displaystyle \textstyle \alpha _{12}c_{2}^{2}=\alpha _{21}c_{1}^{2}}$.

Tout le problème est contenu dans la connaissance de l'une des quantités ${\displaystyle \textstyle \alpha }$, modélisée de différentes façons qui toutes ignorent les possibles transitions en fréquence^[9].

Dans cette approximation due à Isaak Khalatnikov (1952)^[10] le phonon est traité comme une onde plane analogue au photon arrivant sur une interface et étant réfléchi ou transmis. Dans ce dernier cas on suppose vérifiées les lois de Snell-Descartes. Cela suppose de connaître la distribution angulaire des phonons ou de supposer l'isotropie.

Par souci de simplicité le coefficient de transmission est parfois calculé en utilisant une impédance acoustique ${\displaystyle \textstyle Z=\rho c}$ où ${\displaystyle \textstyle \rho }$ est la masse volumique du matériau :

${\displaystyle \alpha _{12}={\frac {4Z_{1}Z_{2}}{(Z_{1}+Z_{2})^{2}}}}$

Cette expression ne vérifie pas la relation de réversibilité.

Si de plus on utilise le modèle de Debye pour le calcul de ${\displaystyle \textstyle f(k,T)}$, ce qui suppose une propagation isotrope des phonons dans un milieu lui-même isotrope, on obtient une dépendance en ${\displaystyle \textstyle T^{3}}$ pour la conductance thermique thermique^[9] :

${\displaystyle G={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}T^{3}}{15\hbar ^{3}}}\sum _{j=1}^{3}{\frac {{\alpha _{12}}_{j}}{{c_{1}}_{j}^{2}}}}$

où j est l'indice correspond à la polarisation.

Comparé à l'expérience, ce modèle surestime la résistance d'interface.

Afin d'augmenter la probabilité de transmission l'idée introduite par E. T. Swartz (1987) est de remplacer la réflexion et la transmission à l'interface par un phénomène de diffusion élastique. Le phénomène de diffusion est mesurable sur une interface avec le vide pour les fréquences hautes (>100 GHz). Il est connu pour sa sensibilité à l'état de surface^[11]. Il existe des modèles décrivant ce phénomène ^[12].

Pour une diffusion isotrope la probabilité de transmission d'un phonon est de 0,5. Ce chiffre est valable à l'interface entre deux matériaux identiques, alors qu'il est de 1 pour l'approximation acoustique.

La diffusion donne des résistances d'interface sous-évaluées.

Un modèle plus général prenant en compte une diffusion inélastique anisotrope se heurte à difficulté de connaître l'interface à l'échelle atomique. De plus, si l'écart entre approximation acoustique et diffusion est important sur une interface solide-liquide, il est faible pour une interface solide-solide. D'une façon générale on se contente de répartir le phénomène : une part pour la diffusion, l'autre pour la réflexion/transmission.

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