Saucisse de Minkowski

Cette fractale obtenue à la fois par système de fonctions itérées (huit similitudes directes de rapport ${\displaystyle 1/4}$) et par système de Lindenmayer , avec la règle : F → F+F−F−FF+F+F−F, angle de 90°.

Si l'on dispose quatre saucisses de Minkowski sur les côtés d'un carré, on obtient une île, ou flocon, de Minkowski, ou encore île de Koch quadratique^[3].

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  Premières itérations.
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  Saucisse de Minkowski, étape 4.
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  Île de Minkowski, étape 3.

Cette fractale a pour dimension Hausdorff ${\displaystyle \left(\ln 8/\ln 4\ \right)=1,5=3/2}$, dimension à mi-chemin entre celle d'une courbe et celle d'une surface.

La courbe finale, qui ne s'intersecte jamais, est strictement auto-similaire^[2], continue partout, dérivable nulle part et non rectifiable (longueur infinie). Sa mesure de Lebesgue est nulle.

D'après Mandelbrot^[4] : "lorsqu'un mathématicien souhaite « dompter » une courbe très irrégulière, l'une des procédures standard consiste à choisir un rayon et à tracer autour de chaque point de la courbe un disque de rayon epsilon. Cette procédure, qui remonte au moins à Hermann Minkowski et peut-être à Georg Cantor, est brutale mais très efficace (quant au terme « saucisse », une rumeur invérifiable prétend qu'il s'agit d'un vestige d'une application de cette procédure aux courbes browniennes de Norbert Wiener)."

Par conséquent, la courbe fractale ici étudiée n'est pas due à Minkowski, mais c'est l'étude par ce dernier de la notion désignée aujourd'hui par saucisse, qui, par transfert, a donné son nom à cette courbe fractale. C'est en effet cette courbe que Mandelbrot met pour illustrer cette notion.

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  Trois premières étapes pour la courbe.
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  Variante de la saucisse de Minkowski, étape 6.
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  Cinq premières étapes pour l'Île.
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  Animation montrant que cette variante de l’île de Minkowski contient quatre copies d'elle-même, réduites dans un rapport 1/2, et est donc un reptuile.

Certains auteurs, dont Mandelbrot^[4], désignent par saucisse de Minkowski une autre courbe, dont le générateur est une ligne brisée composée de trois parties de longueur ${\displaystyle 1/{\sqrt {5}}}$ fois la longueur de départ, donc de dimension ${\displaystyle 2\ln 3/\ln 5\approx 1,37}$^[5] ; C'est donc aussi une variante de la courbe donnant la frontière de l'ïle de Gosper où les trois parties sont de longueur ${\displaystyle 1/{\sqrt {7}}}$.

Quatre copies de cette courbe placées en carré donnent une figure aussi parfois appelée ile de Minkowski.