Sinus hyperbolique réciproque

La fonction sinus hyperbolique réciproque, ou argument sinus hyperbolique^[1], notée arsinh^[2] (ou argsh),

${\displaystyle \operatorname {arsinh}$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }

est définie à l'aide du sinus hyperbolique par :

${\displaystyle y=\operatorname {arsinh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\sinh y}$.

Cette fonction est bijective et son image est ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Elle est continue, impaire, strictement croissante, convexe sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$ et concave sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$.

Sa valeur en 0 est 0 et sa limite en +∞ est +∞.

Elle est dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et sa dérivée est donnée par :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} 'x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$.

Par conséquent^[3], la fonction arsinh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$.

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Sine », sur MathWorld