Somme des chiffres

La fonction qui à un nombre entier naturel ${\displaystyle n}$ fait correspondre la somme de ses chiffres en base ${\displaystyle b\geqslant 2}$ est la fonction ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ définie par la relation :

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

où ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ est le nombre de chiffres du nombre en base ${\displaystyle b}$ et

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

est la valeur du ${\displaystyle i+1}$ème chiffre du nombre (c'est-à-dire le chiffre associé à la puissance ${\displaystyle b^{i}}$ dans la représentation de ${\displaystyle n}$ en base ${\displaystyle b}$) .

Par exemple, en base 10, la somme des chiffres de 84001 est ${\displaystyle F_{10}(84001)=8+4+0+0+1=13}$ .

Pour deux bases quelconques ${\displaystyle 2\leq b_{1}<b_{2}}$ et pour des nombres naturels suffisamment grands ${\displaystyle n}$ ,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{b_{1}}(k)<\sum _{k=0}^{n}F_{b_{2}}(k)}$ .

La somme des chiffres en base 10 des entiers 0, 1, 2, ... est donnée par la suite  A007953 de l'Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers. Borwein & Borwein utilisent la fonction génératrice de cette suite d'entiers (et de la suite analogue pour les sommes des chiffres binaires) pour obtenir plusieurs séries rapidement convergentes avec des sommes rationnelles et transcendantes^[1].

La somme des chiffres peut être étendue aux nombres entiers négatifs en utilisant une représentation en chiffres signés pour représenter chaque nombre entier.